a: góc AMC=1/2*180=90 độ

=>góc DMC=90 độ

góc CNB=1/2*180=90 độ

=>góc DNC=90 độ

Kẻ tiếp tuyến Cx của hai đường tròn đường kính AC,CB, Cx cắt MN tại I

Xét (E) có

IC,IM là tiếp tuyến

=>IC=IM

Xét (F) có

IN,IC là tiếp tuyến

=>IN=IC=IM

Xét ΔMCN có

CI là trung tuyến

CI=MN/2

=>ΔMCN vuông tại C

góc DMC=góc DNC=góc MCN=90 độ

=>DMCN là hcn

b: ΔDCA vuông tại C có CM vừa là đường cao

nên DM*DA=DC^2

ΔDCB vuông tại C có CN là đường cao

nên DN*DB=DC^2=DM*DA

Tam giác ABD nội tiếp trong đường tròn có AB là đường kính nên  = 90o hay  =  90 °

Tam giác ACM nội tiếp trong đường tròn có AC là đường kính nên  = 90 °

Suy ra: CM ⊥ AD ⇒  =  90 °

Tam giác BCN nội tiếp trong đường tròn có AC là đường kính nên  =  90 °

Suy ra: CN ⊥ BD ⇒  =  90 °

Tứ giác CMDN có ba góc vuông nên nó là hình chữ nhật

Gọi P là trung điểm của AC, Q là trung điểm của BC, I là giao điểm của MN với DC

Vì CMDN là hình chữ nhật nên IC = IM = ID = IN

Tam giác CNI cân tại I nên  (3)

Tam giác CNQ cân tại Q nên      (4)

Vì AB ⊥ CD nên  = 90 °    (5)

Từ (3), (4) và (5) suy ra:  =  90 °  hay MN ⊥ QN

Vậy MN là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC

Tam giác CMI cân tại I nên      (6)

Tam giác CMP cân tại P nên      (7)

Vì AB ⊥ CD nên  =  90 °     (8)

Từ (6), (7) và (8) suy ra:  =  90 °  hay MN ⊥ PM

Vậy MN là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AC

Tam giác ACD vuông tại C có CM ⊥ AD

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

C D 2  = DM.DA    (1)

Tam giác BCD vuông tại C có CN ⊥ BD

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

C D 2  = DN.DB    (2)

Từ (1) và (2) suy ra: DM.DA = DN.DB

Gọi O là trung điểm của AB

Tứ giác CMDN là hình chữ nhật nên CD = MN

Trong tam giác OCD ta có: CD ≤ OD nên MN  ≤  OD

Vì OD không đổi nên MN = OD là giá trị lớn nhất khi và chỉ khi C trùng với O

Vậy C là trung điểm của AB thì MN có độ dài lớn nhất.

a: góc EAB=1/2*90=45 độ

=>góc AEB=45 độ

b: góc EFD=góc FAB+góc FBA=90 độ+góc DAB

góc ECD+góc ACD=180 độ

=>góc ECD=góc DBA

=>góc EFD+góc ECD=180 độ

=>CDFE nội tiếp