Câu a)

Em mới hc lớp 7 nên chỉ chứng minh cái phần dấu bằng xảy ra khi nào thui. Ko biết có đúng ko

Theo đề bài Ta có

\(\left(ac+bd\right)^2=\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(ac+bd\right)^2=\left(a^2+b^2\right)^2=\left(c^2+d^2\right)^2\)

Suy ra \(ac=a^2,bd=b^2,ac=b^2\)

Suy ra \(a=b=c=d\)

Vậy dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=d\)

ukm nhưng anh cần câu b

1) Áp dụng BĐT bun-hi-a-cốp-xki ta có:

\(\left(a+d\right)\left(b+c\right)\ge\left(\sqrt{ab}+\sqrt{cd}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(a+d\right)\left(b+c\right)}\ge\sqrt{ab}+\sqrt{cd}\)( vì a,b,c,d dương )

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)

a²(1+b²) + b²(1+c²) + c²(1+a²) = a² + a²b² + b² + b²c² + c² + a²c²

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 6 số không âm a², a²b², b², b²c², c², a²c² ta được:

a² + a²b² + b² + b²c² + c² + a²c² >= 6\(\sqrt{a^6b^6c^6}\)= 6abc

=> a²(1+b²) + b²(1+c²) + c²(1+a²) >= 6abc

Dấu = xảy ra khi

a²=a²b²=b²=b²c²=c²=a²c² 

a=b=c=+-1

Áp dụng BĐT Cauhy-Schwarz ta có:

\(VT=\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\)

\(\ge\left(\sqrt{\left(ax\right)^2}+\sqrt{\left(by\right)^2}+\sqrt{\left(cz\right)^2}\right)^2\)

\(=\left(ax+by+cz\right)^2=VP\) (đúng)

Đẳng thức xảy ra khi \(\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}=\dfrac{c}{z}\)

b: \(A=\dfrac{x^2+4+1}{\sqrt{x^2+4}}=\sqrt{x^2+4}+\dfrac{1}{\sqrt{x^2+4}}>=2\sqrt{\sqrt{x^2+4}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{x^2+4}}}=2\)

a: =>ab+ad+bc+cd>=ab+cd+2căn abcd

=>ad+cb-2căn abcd>=0

=>(căn ad-căn cb)^2>=0(luôn đúng)

Ta có:\(\left(ad-cb\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2d^2-2adcb+c^2d^2\ge0\)\(\Leftrightarrow a^2b^2-a^2b^2+c^2d^2-c^2d^2+a^2d^2-2adbc+c^2b^2\ge0\)\(\Leftrightarrow a^2b^2+a^2d^2+c^2d^2+c^2b^2-a^2b^2-2adcb-c^2d^2\ge0\)\(\Leftrightarrow\left(a^2+c^2\right)\left(b^2+d^2\right)-\left(ab+cd\right)^2\ge0\) \(\Leftrightarrow\left(a^2+c^2\right)\left(b^2+a^2\right)\ge\left(ab+ca\right)^2\)\(\Leftrightarrow\left(ab+ca\right)^2\le\left(a^2+c^2\right)\left(b^2+a^2\right)\)\(\left(dpcm\right)\)

Ta có BĐT \(\Leftrightarrow\left(\sqrt{ab}+\sqrt{cd}\right)^2\le\left(a+d\right)\left(b+c\right)\Leftrightarrow ab+cd+2\sqrt{abcd}\le ab+ac+bd+dc\)

\(\Leftrightarrow ac+bd\ge2\sqrt{abcd}\) (luôn đúng theo AM-GM)

p/s: mà cái BĐT bn cần chứng minh đó chính là BĐT Bunyakovsky đấy ^.^