a: Xét ΔABE vuông tại E và ΔACF vuông tại F có

góc BAE chung

=>ΔABE đồng dạng với ΔACF

=>AB/AC=AE/AF

=>AE/AB=AF/AC và AE*AC=AB*AF

b: Xét ΔAEF và ΔABC có

AE/AB=AF/AC

góc A chung

=>ΔAEF đồng dạng với ΔABC

=>góc AEF=góc ACB

c; góc AFH=góc AEH=90 độ

=>AFHE nội tiếp (I)

=>IF=IE

góc BFC=góc BEC=90 độ

=>BFEC nội tiếp (M)

=>MF=ME

=>MI là trung trực của EF

=>MI vuông góc EF

`a,` CM `AE.AC=AF.AB`

Xét \(\Delta ABE\) và \(\Delta AFC\) ta có :

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{A}:chung\\\widehat{AEB}=\widehat{AFC}=90^o\end{matrix}\right.\)

Do đó \(\Delta ABE\sim\Delta AFC\left(g.g\right)\)

`=> (AE)/(AF)=(AB)/(AC)`

`<=>AE .AC = AF .AB->đpcm`

`b,` Xét \(\Delta AEF\) và \(\Delta ABC\) có :

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{B}:chung\\\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\left(cmt\right)\end{matrix}\right.\)

Do đó \(\Delta AEF\sim\Delta ABC\left(c.g.c\right)\)

`c,` Xét \(\Delta BFC\) và \(\Delta BDA\) có :

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{B}:chung\\\widehat{BFC}=\widehat{BDA}=90^o\end{matrix}\right.\)

Do đó \(\Delta BFC\sim\Delta BDA\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{BF}{BD}=\dfrac{BC}{BA}\Rightarrow\dfrac{BF}{BC}=\dfrac{BD}{BA}\)

Xét \(\Delta BHD\) và \(\Delta BCA\) có :

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{B}:chung\\\dfrac{BF}{BC}=\dfrac{BD}{BA}\left(cmt\right)\end{matrix}\right.\)

Do đó \(\Delta BFD\sim\Delta BCA\left(c.g.c\right)\)

`d,` Xét \(\Delta CDH\) và \(\Delta CFB\) có :

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{C}:chung\\\widehat{CDH}=\widehat{CFB}=90^o\end{matrix}\right.\)

Do đó \(\Delta CDH\sim\Delta CFB\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{CF}{CD}=\dfrac{CB}{CH}\)

\(\Rightarrow\dfrac{CF}{CB}=\dfrac{CD}{CH}\)

`e,` vì \(\Delta AEF\sim\Delta ABC\) ( cm câu `b` ) nên

\(\widehat{F_2}=\widehat{C}\) ( hai góc tương ứng )

Mà \(\widehat{F_2}=\widehat{F_1}\)  ( đối đỉnh )

Nên \(\widehat{C}=\widehat{F_1}\)

Xét \(\Delta IFB\) và \(\Delta IEC\) có :

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{I}:chung\\\widehat{F_1}=\widehat{C}\left(cmt\right)\end{matrix}\right.\)

Do đó \(\Delta IFB\sim\Delta ICE\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{IF}{IC}=\dfrac{IB}{IE}\)

Vậy `IF.IE=IB.IC->đpcm`

Cậu tự vẽ hình ra đc ko ạ 

Phần c) trước hết ta chứng minh HD là phân giác của \(\widehat{FID}\)

Xét \(\Delta DBH\)và \(\Delta EBC\)có

\(\widehat{BDH}=\widehat{BEC}\left(=90^0\right)\)

\(\widehat{CBE}\)chung

\(\Delta DBH\approx\Delta EBC\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{BD}{BE}=\frac{BH}{BC}\)(2 cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

\(\Rightarrow\frac{BD}{BH}=\frac{BE}{BC}\)(tính chất của tỉ lệ thức) 

Xét \(\Delta BDE\)và \(\Delta BHC\)có:

\(\widehat{CBE}\)chung

\(\frac{BD}{BH}=\frac{BE}{BC}\)(chứng minh trên)

\(\Delta BDE\approx\Delta BHC\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{BED}=\widehat{BCH}\)(2 góc tương ứng)

\(\Rightarrow\widehat{BED}=\widehat{BCF}\)

Ta có:

 \(\widehat{BED}+\widehat{DEC}=90^0\left(=\widehat{BEC}\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{BCF}+\widehat{DEC}=90^0\)

Và vì \(\Delta FBC\)vuông tại F

\(\Rightarrow\widehat{BCF}+\widehat{FBC}=90^0\)(vì phu nhau)

Do đó :\(\widehat{DEC}=\widehat{FBC}\)(cùng phụ với \(\widehat{BCF}\))

\(\Rightarrow\widehat{DEC}=\widehat{FBD}\)

Chứng minh tương tự, ta được: \(\widehat{BFD}=\widehat{ECD}\)

Xét \(\Delta BFD\)và \(\Delta ECD\)có:

\(\widehat{BFD}=\widehat{ECD}\)(chứng minh trên)

\(\widehat{FBD}=\widehat{CED}\)(chứng minh trên)

\(\Rightarrow\Delta BFD\approx\Delta ECD\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{BDF}=\widehat{EDC}\)(2 góc tương ứng)

Ta có:

\(\widehat{BDF}+\widehat{ADF}=90^0\left(=\widehat{BDA}\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{EDC}+\widehat{ADF}=90^0\)

Và \(\widehat{CDE}+\widehat{EDA}=90^0\left(=\widehat{CDA}\right)\)

Do đó: \(\widehat{ADF}=\widehat{EDA}\)

\(\Rightarrow\widehat{HDF}=\widehat{HDI}\)(với \(H\in FI\)hay \(H\in FC\))

\(\Rightarrow DH\)là phân giác của \(\widehat{FDI}\)(1)

Xét \(\Delta FDI\)có (1)

\(\Rightarrow\frac{HI}{FH}=\frac{DI}{DF}\)(tính chất) (2)

Ta có: \(AD\perp BC\Rightarrow HD\perp CD\)

Do đó \(CD\)là phân giác ngoài của \(\widehat{FDI}\)(với C là giao điểm của CD và FI) (3)

Xét \(\Delta FDI\)có (3)

\(\Rightarrow\frac{CI}{CF}=\frac{DI}{FD}\)(tính chất) (4)

Từ (2) và (4)

\(\Rightarrow\frac{HI}{FH}=\frac{CI}{CF}\left(=\frac{DI}{DF}\right)\)

\(\Rightarrow HI.CF=FH.CI\)(điều phai chứng minh).

a: Xét ΔABE vuông tại E và ΔACF vuông tại F có

góc BAE chung

DO đó: ΔABE\(\sim\)ΔACF

SUy ra: AB/AC=AE/AF

hay \(AB\cdot AF=AE\cdot AC\)

b: Xét ΔAEF và ΔABC có

AE/AB=AF/AC

góc EAF chung

Do đó: ΔAEF\(\sim\)ΔABC

Suy ra: \(\widehat{AEF}=\widehat{ABC}\)

Em viết đề sai lung tung. Em viết chính xác lại nhé

a: Xét ΔAEB vuông ạti E và ΔAFC vuôg tại F có

góc BAE chung

=>ΔAEB đồng dạg vơi ΔAFC

=>AE/AF=AB/AC
=>AE*AC=AB*AF
b: Xét ΔAEF và ΔABC có

AE/AB=AF/AC
góc A chung

=>ΔAEF đồng dạng vơi ΔABC

a: Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F có

góc A chung

=>ΔAEB đồng dạng với ΔAFC

=>AE/AF=AB/AC

=>AE*AC=AB*AF và AE/AB=AF/AC

b: Xét ΔAEF và ΔABC có

AE/AB=AF/AC

góc A chung

=>ΔAEF đồng dạng với ΔABC

Giải

a) Xét \(\Delta BHF\) và \(\Delta CHE\) có:

\(\widehat{BHF}=\widehat{CHE}\) (vì đối đỉnh)

\(\widehat{BFH}=\widehat{CEH}=90^o\)

=> \(\Delta BHF\)  \(\Delta CHE\) (g - g)

b) Xét \(\Delta ABE\) và \(\Delta ACF\) có:

\(\widehat{A}\) là góc chung

\(\widehat{AEB}=\widehat{AFC}=90^o\)

=> \(\Delta ABE\)  \(\Delta ACF\) (g - g)

=> \(\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AF}\)

=> AF . AB = AE . AC

c) Xét \(\Delta AEF\) và \(\Delta ABC\) có:

\(\widehat{A}\) là góc chung

\(\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}\) (vì \(\Delta ABE\)  \(\Delta ACF\)) 

=> \(\Delta AEF\) \(\Delta ABC\) (c - g - c)

d) Câu d mình không nghĩ ra. Bạn tự làm nha, chắc là xét tam giác đồng dạng rồi suy ra hai góc bằng nhau và sẽ suy ra đường phân giác đó.