a) Thay m=-2 vào pt:

\(x^2-2.\left(-2+1\right).x-\left(-2+2\right)=0\\ \Leftrightarrow x^2+2x=0\\ \Leftrightarrow x.\left(x+2\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x+2=0\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-2\end{matrix}\right.\)

Với m= -2 => S= {-2;0}

b) Để phương trình trên có 1 nghiệm x1=2:

<=> 2² -2.(m+1).2-(m+2)=0

<=> 4-4m -4 -m-2=0

<=> -5m=2

<=>m=-2/5

c) ĐK của m để pt trên có nghiệm kép:

\(\Delta'=0\\ \Leftrightarrow\left(m+1\right)^2+1.\left(m+2\right)=0\\ \Leftrightarrow m^2+3m+3=0\)

Vô nghiệm.

BPT \(x^2-2mx+m^2-m+3\le0\) có tập nghiệm S đã cho nên \(x_1;x_2\) là nghiệm:

\(x^2-2mx+m^2-m+3=0\) với \(\Delta=m^2-\left(m^2-m+3\right)=m-3\ge0\)

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=m^2-m+3\end{matrix}\right.\)

Mặt khác, do \(x_1\) là nghiệm nên: \(x_1^2=2mx_1-m^2+m-3\)

Thay vào bài toán:

\(\sqrt{2mx_1-m^2+m-3+2mx_2+m^2-m+3}=\left|m-9\right|\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2m\left(x_1+x_2\right)}=\left|m-9\right|\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{4m^2}=\left|m-9\right|\)

\(\Leftrightarrow4m^2=m^2-18m+81\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=3\\m=-9\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Delta=\left(2m-1\right)^2-4\cdot\left(m+1\right)\cdot m\)

\(=4m^2-4m+4-4m^2-4m\)

\(=-8m+4\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì 

\(\left\{{}\begin{matrix}m+1\ne0\\-8m+4>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne1\\-8m>-4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne1\\m< \dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m< \dfrac{1}{2}\)

ư365jn5yb

Ta có :

\(x^2-(8m+1)x+15m^2+3m\leq 0 \\ \Leftrightarrow (x-3m)(x-5m-1) \leq 0\\ \Leftrightarrow x\in [3m;5m-1] \ hoặc \ x\in[5m-1;3m] \)

Độ dài của S trên trục số là:

\(|5m-1-3m|>3 \\ \Leftrightarrow |2m-1| > 3 \\ \Leftrightarrow 2m-1 > 3 \ hoặc \ 2m-1 <-3\\\Leftrightarrow m>2 \ hoặc\ m<-1\)

- Với \(m=\dfrac{1}{2}\) ko thỏa mãn

- Với \(m\ne\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left(2m-1\right)x^3-\left(2m-1\right)x^2-\left(m-2\right)x^2+\left(m-4\right)x+2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(2m-1\right)x^2\left(x-1\right)-\left(x-1\right)\left[\left(m-2\right)x+2\right]\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left[\left(2m-1\right)x^2-\left(m-2\right)x-2\right]\ge0\) (1)

Do (1) luôn chứa 1 nghiệm \(x=1\in\left(0;+\infty\right)\) nên để bài toán thỏa mãn thì cần 2 điều sau đồng thời xảy ra:

+/ \(2m-1>0\Rightarrow m>\dfrac{1}{2}\)

+/ \(\left(2m-1\right)x^2-\left(m-2\right)x-2=0\) có 2 nghiệm trong đó \(x_1\le0\) và \(x_2=1\)

Thay \(x=1\) vào ta được:

\(\left(2m-1\right)-\left(m-2\right)-2=0\Leftrightarrow m=1\)

Khi đó: \(x^2+x-2=0\) có 2 nghiệm \(\left[{}\begin{matrix}x_1=-2< 0\left(thỏa\right)\\x_2=1\end{matrix}\right.\)

Vậy \(m=1\)

Bất phương trình đã cho có nghiệm khi:

\(\Delta'=m^2+2m+1-4m-4=m^2-2m-3< 0\)

\(\Leftrightarrow-1< m< 3\)