Áp dụng hệ thức lượng:

\(\dfrac{1}{DI^2}=\dfrac{1}{DE^2}+\dfrac{1}{DF^2}\)

\(\Leftrightarrow DI=\dfrac{DE.DF}{\sqrt{DE^2+DF^2}}=\dfrac{3.4}{\sqrt{3^2+4^2}}=2,4\)

\(EF=\sqrt{3^2+4^2}=5\left(cm\right)\)

DI=3*4/5=2,4cm

Bài 1: 

\(CH=24\cdot\dfrac{3}{8}=9\left(cm\right)\)

\(DH=15\left(cm\right)\)

\(OC=\sqrt{9\cdot24}=6\sqrt{6}\left(cm\right)\)

\(OD=\sqrt{24^2-216}=6\sqrt{10}\left(cm\right)\)

\(OH=3\sqrt{15}\left(cm\right)\)

a) Xét tam giác DEF vuông tại D có đường cao DI ta có:
\(\dfrac{1}{DI^2}=\dfrac{1}{DE^2}+\dfrac{1}{DF^2}\)

\(\Rightarrow DI^2=\dfrac{DE^2DF^2}{DE^2+DF^2}\)

\(\Rightarrow DI^2=\dfrac{15^2\cdot20^2}{15^2+20^2}=144\)

\(\Rightarrow DI=12\left(cm\right)\) 

b) Xét tam giác DEF vuông tại D có đường cao DI áp dụng Py-ta-go ta có:

\(DF^2=EF^2-DE^2\)

\(\Rightarrow DF^2=15^2-12^2=81\)

\(\Rightarrow DF=9\left(cm\right)\)

Ta có: \(DI=\sqrt{\dfrac{DF^2DE^2}{DF^2+DE^2}}\)

\(\Rightarrow DI=\sqrt{\dfrac{9^2\cdot12^2}{9^2+12^2}}=\dfrac{108}{15}\left(cm\right)\)

- Áp dụng định lý pitago vào tam giác DEF vuông tại D :

\(DE=\sqrt{FE^2-DF^2}=27\left(cm\right)\)

- Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác DEF vuông tại D đường cao DI

\(\left\{{}\begin{matrix}DI.FE=DE.DF\\DE^2=EI.FE\\DF^2=FI.FE\end{matrix}\right.\)

 \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}DI=21,6\\EI=16,2\\FI=28,8\end{matrix}\right.\) ( cm )

Vậy ...

pyta go \(=>DE=\sqrt{ÈF^2-DF^2}=\sqrt{45^2-36^2}=27cm\)

áp dụng hệ thức lượng

\(=>DI.EF=DE.DF=>DI=\dfrac{27.36}{45}=21,6cm\)

\(=>DE^2=EI.EF=>EI=\dfrac{27^2}{45}=16,2cm\)

\(=>FI=45-16,2=28,8cm\)

Áp dụng định lí py-ta-go vào tam giác DFE vuông tại D có:

\(DE^2=EF^2-DF^2=729\)

\(\Rightarrow DE=27\) (cm)

Áp dụng ht lượng trong tam giác vuông có:

\(\dfrac{1}{DI^2}=\dfrac{1}{DE^2}+\dfrac{1}{DF^2}=\dfrac{1}{27^2}+\dfrac{1}{36^2}=\dfrac{2025}{27^2.36^2}\)

\(\Leftrightarrow DI^2=\dfrac{27^2.36^2}{45^2}\)\(\Leftrightarrow DI=\dfrac{27.36}{45}=21,6\) (cm)

\(DE^2=EI.EF\Leftrightarrow EI=\dfrac{DE^2}{EF}=\dfrac{27^2}{45}=16,2\) (cm)

\(DF^2=FI.EF\Leftrightarrow FI=\dfrac{DF^2}{EF}=\dfrac{36^2}{45}=28,8\) (cm)

\(\dfrac{DF}{EF}=\dfrac{4}{5}\)

\(\Leftrightarrow DF=\dfrac{4}{5}EF\)

\(\Leftrightarrow DF=24\left(cm\right)\)

\(\Leftrightarrow FE=30\left(cm\right)\)

\(\Leftrightarrow DI=14.4\left(cm\right)\)

Bài 1: 

\(CH=24\cdot\dfrac{3}{8}=9\left(cm\right)\)

DH=15(cm)

\(OH=3\sqrt{15}\left(cm\right)\)

\(OC=\sqrt{OH^2+CH^2}=\sqrt{81+135}=6\sqrt{6}\left(cm\right)\)

\(OD=\sqrt{24^2-216}=6\sqrt{10}\left(cm\right)\)

a) Áp dụng định lí Pytago vào ΔEDF vuông tại D, ta được:

\(EF^2=DF^2+DE^2\)

\(\Leftrightarrow DF^2=13^2-9^2=88\)

hay \(DF=2\sqrt{22}\left(cm\right)\)

Xét ΔEDF vuông tại D có 

\(\sin\widehat{E}=\dfrac{DF}{EF}=\dfrac{2\sqrt{22}}{13}\)

nên \(\widehat{E}\simeq46^0\)

\(\Leftrightarrow F=44^0\)

b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔDFE vuông tại D có DI là đường cao ứng với cạnh huyền EF, ta được:

\(DI\cdot EF=DF\cdot DE\)

\(\Leftrightarrow DI=\dfrac{18\sqrt{22}}{13}\left(cm\right)\)

Áp dụng định lí Pytago vào ΔDIF vuông tại I, ta được:

\(DF^2=DI^2+IF^2\)

\(\Leftrightarrow IF^2=DF^2-DI^2=\left(2\sqrt{22}\right)^2-\left(\dfrac{18\sqrt{22}}{13}\right)^2=\dfrac{7744}{169}\)

hay \(IF=\dfrac{88}{13}\left(cm\right)\)

Ta có: IE+IF=EF(I nằm giữa E và F)

nên \(IE=EF-IF=13-\dfrac{88}{13}=\dfrac{81}{13}\left(cm\right)\)

c) Xét tứ giác DMIN có 

\(\widehat{NDM}=90^0\)

\(\widehat{IND}=90^0\)

\(\widehat{IMD}=90^0\)

Do đó: DMIN là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

Suy ra: DI=MN(Hai đường chéo của hình chữ nhật DMIN)

mà \(DI=\dfrac{18\sqrt{22}}{13}\left(cm\right)\)

nên \(MN=\dfrac{18\sqrt{22}}{13}\left(cm\right)\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔDIE vuông tại I có IM là đường cao ứng với cạnh huyền DE, ta được:

\(DM\cdot DE=DI^2\)(1)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔDIF vuông tại I có IN là đường cao ứng với cạnh huyền DF, ta được:

\(DN\cdot DF=DI^2\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(DM\cdot DE=DN\cdot DF\)