a) \(\dfrac{a}{5}=\dfrac{b}{4}\Rightarrow\dfrac{a^2}{25}=\dfrac{b^2}{16}\)

Áp dụng tính chất DTSBN :

\(\dfrac{a^2}{25}=\dfrac{b^2}{16}=\dfrac{a^2-b^2}{25-16}=\dfrac{1}{9}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2=\dfrac{1}{9}\cdot25=\dfrac{25}{9}\\b^2=\dfrac{1}{9}\cdot16=\dfrac{16}{9}\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{5}{3};b=\dfrac{4}{3}\\a=\dfrac{-5}{3};b=-\dfrac{4}{3}\end{matrix}\right.\)

Vậy \(\left(a;b\right)\in\left\{\left(\dfrac{5}{3};\dfrac{4}{3}\right);\left(-\dfrac{5}{3};-\dfrac{4}{3}\right)\right\}\)

b) \(\dfrac{a}{2}=\dfrac{b}{3}=\dfrac{c}{4}\Rightarrow\dfrac{a^2}{4}=\dfrac{b^2}{9}=\dfrac{c^2}{16}\)

Áp dụng tính chất DTSBN :

\(\dfrac{a^2}{4}=\dfrac{b^2}{9}=\dfrac{c^2}{16}=\dfrac{2c^2}{32}=\dfrac{a^2-b^2+2c^2}{4-9+32}=\dfrac{108}{27}=4\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2=4.4=16\\b^2=4.9=36\\c^2=4,16=64\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=4;=6;c=8\\a=-4;b=-6;c=-8\end{matrix}\right.\)

Vậy (a;b;c) \(\in\left\{\left(4;6;8\right);\left(-4;-6;-8\right)\right\}\)

b) Ta có : \(\dfrac{2a}{3}=\dfrac{3b}{4}=\dfrac{4c}{5}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{\dfrac{3}{2}}=\dfrac{b}{\dfrac{4}{3}}=\dfrac{c}{\dfrac{5}{4}}=\dfrac{a+b+c}{\dfrac{3}{2}+\dfrac{4}{3}+\dfrac{5}{4}}=\dfrac{49}{\dfrac{49}{12}}=12\)

Khi đó \(a=12.\dfrac{3}{2}=18;b=12.\dfrac{4}{3}=16;c=12.\dfrac{5}{4}=15\)

Vậy (a,b,c) = (18,16,15) 

a) \(a:b=2\dfrac{2}{5}:\dfrac{4}{5}=\dfrac{12}{5}\cdot\dfrac{5}{4}=3:1\)

b) \(a:b=7.7:1.1=7:1\)

c) \(a:b=\dfrac{0.7\cdot100}{50}=\dfrac{70}{50}=\dfrac{7}{5}\)

d) \(a:b=\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{100}{120}=\dfrac{1}{2}\)

e) \(a:b=\dfrac{\dfrac{3}{2}\cdot60}{\dfrac{1}{2}}=3\cdot60=180:1\)

g) \(a=66\dfrac{2}{3}\%m=\dfrac{200}{3}\cdot\dfrac{1}{100}m=\dfrac{2}{3}m\)

\(b=0.5\%km=0.005km=5m\)

Do đó: \(a:b=\dfrac{2}{3}:5=\dfrac{2}{15}\)

Ta có: \(\dfrac{a}{3}=\dfrac{b}{4}\)

          \(\dfrac{b}{2}=\dfrac{c}{5}\Rightarrow\dfrac{b}{4}=\dfrac{c}{10}\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{3}=\dfrac{b}{4}=\dfrac{c}{10}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

\(\dfrac{a}{3}=\dfrac{b}{4}=\dfrac{c}{10}=\dfrac{a-c+b}{3-10+4}=\dfrac{3}{-3}=-1\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\left(-1\right).3=-3\\b=\left(-1\right).4=-4\\c=\left(-1\right).10=-10\end{matrix}\right.\)

\(\dfrac{a}{3}=\dfrac{b}{4};\dfrac{b}{2}=\dfrac{c}{5}\Rightarrow\dfrac{b}{4}=\dfrac{c}{10}\\ \Rightarrow\dfrac{a}{3}=\dfrac{b}{4}=\dfrac{c}{10}\)

Áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau:

\(\dfrac{a}{3}=\dfrac{b}{4}=\dfrac{c}{10}=\dfrac{a+b-c}{3+4-10}=\dfrac{3}{-3}=-1\\ \Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-1\cdot3=-3\\b=-1\cdot4=-4\\c=-1\cdot10=-10\end{matrix}\right.\)

\(\dfrac{b}{2}=\dfrac{c}{5}\Rightarrow\dfrac{b}{4}=\dfrac{c}{10}\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{3}=\dfrac{b}{4}=\dfrac{c}{10}=\dfrac{a-c+b}{3-10+4}=\dfrac{3}{-3}=-1\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\left(-1\right).3=-3\\b=\left(-1\right).4=-4\\c=\left(-1\right).10=-10\end{matrix}\right.\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{a}{8}=\dfrac{b}{12}=\dfrac{c}{15}=\dfrac{a-b-c}{8-12-15}=\dfrac{28}{-19}=\dfrac{-28}{19}\)

Do đó: \(\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{-224}{19}\\b=\dfrac{-336}{19}\\c=\dfrac{-420}{19}\end{matrix}\right.\)

Câu 5:

a: Hệ số tỉ lệ k của y đối với x là:

\(k=\dfrac{y}{x}=\dfrac{3}{-6}=-\dfrac{1}{2}\)

b: \(\dfrac{y}{x}=-\dfrac{1}{2}\)

=>\(y=-\dfrac{1}{2}x\)

=>\(x=\dfrac{\left(-2\right)\cdot y}{1}=-2y\)

c: Khi x=1/2 thì \(y=-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{4}\)

d: Khi y=-8 thì \(x=\left(-2\right)\cdot\left(-8\right)=16\)

Câu 3:

Gọi số học sinh của hai lớp 7A và 7B lần lượt là a(bạn) và b(bạn)

(Điều kiện: \(a,b\in Z^+\))

Lớp 7A có ít hơn lớp 7B là 5 bạn nên b-a=5

Số học sinh của lớp 7A và lớp 7B lần lượt tỉ lệ với 8 và 9 nên ta có

\(\dfrac{a}{8}=\dfrac{b}{9}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{a}{8}=\dfrac{b}{9}=\dfrac{b-a}{9-8}=\dfrac{5}{1}=5\)

=>\(a=5\cdot8=40;b=5\cdot9=45\)

Vậy: Lớp 7A có 40 bạn; lớp 7B có 45 bạn

Câu 4:

Gọi khối lượng giấy vụn lớp 6a,6b,6c quyên góp được lần lượt là a(kg),b(kg),c(kg)

(Điều kiện: a>0;b>0;c>0)

Vì khối lượng giấy vụn mà ba lớp 6a,6b,6c quyên góp được lần lượt tỉ lệ với 9;7;8 nên \(\dfrac{a}{9}=\dfrac{b}{7}=\dfrac{c}{8}\)

Tổng khối lượng giấy vụn ba lớp quyên góp được là 120kg nên a+b+c=120

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{a}{9}=\dfrac{b}{7}=\dfrac{c}{8}=\dfrac{a+b+c}{9+7+8}=\dfrac{120}{24}=5\)

=>\(a=5\cdot9=45;b=5\cdot7=35;c=8\cdot5=40\)

Vậy: Lớp 6a quyên góp được 45kg; lớp 6b quyên góp được 35kg; lớp 6c quyên góp được 40kg

\(a)\)\(\dfrac{a}{b}\times4+\dfrac{1}{6}=\dfrac{19}{6}\)

   \(\dfrac{a}{b}\times4=\dfrac{19}{6}-\dfrac{1}{6}\)

   \(\dfrac{a}{b}\times4=\dfrac{18}{6}\)

   \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{18}{6}\div4\)

   \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{18}{6}\times\dfrac{1}{4}\)

\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{18}{24}\)

Xét \(\dfrac{a}{a^2+1}+\dfrac{3\left(a-2\right)}{25}-\dfrac{2}{5}=\dfrac{a}{a^2+1}+\dfrac{3a-16}{25}=\dfrac{\left(3a-4\right)\left(a-2\right)^2}{25\left(a^2+1\right)}\ge0\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{a^2+1}\ge\dfrac{2}{5}-\dfrac{3\left(a-2\right)}{25}\)

CMTT \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{b}{b^2+1}\ge\dfrac{2}{5}-\dfrac{3\left(b-2\right)}{25}\\\dfrac{c}{c^2+1}\ge\dfrac{2}{5}-\dfrac{3\left(c-2\right)}{25}\end{matrix}\right.\)

Cộng vế theo vế:

\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{2}{5}+\dfrac{2}{5}+\dfrac{2}{5}-\dfrac{3\left(a-2\right)+3\left(b-2\right)+3\left(c-2\right)}{25}\ge\dfrac{6}{5}-\dfrac{3\left(a+b+c-6\right)}{25}=\dfrac{6}{5}\)

Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=c=2\)