Lời giải:a) Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $AB=CD$

$\Rightarrow \frac{AB}{2}=\frac{CD}{2}$$\Leftrightarrow AE=DF$

$AB\parallel CD\Rightarrow AE\parallel DF$ 

Như vậy, tứ giác $ADFE$ hai cạnh đối $AE, DF$ song song và bằng nhau nên $ADFE$ là hình bình hành. 

Mà $\widehat{D}=90^0$ nên $ADFE$ là hình chữ nhật.

Hình chữ nhật $ADFE$ có 2 cạnh kề $AD=\frac{AB}{2}=AE$ nên $ADFE$ là hình vuông.

b) 

Vì $ADFE$ là hình vuông nên $AD\perp AF\Rightarrow \widehat{EMF}=90^0$. Đồng thời, $\widehat{DEF}=45^0$

Tương tự: $EBCF$ cũng là hình vuông $\Rightarrow \widehat{ENF}=90^0; \widehat{FEC}=45^0$

Từ đây suy ra $\widehat{MEN}=\widehat{DEF}+\widehat{FEC}=90^0=\widehat{EMF}=\widehat{ENF}=90^0$ nên tứ giác $EMFN$ là hình chữ nhật.

Mặt khác: Vì $AEDF, BEFC$ là 2 hình vuông bằng nhau (do $AE=EB$) nên đường chéo $ED=EC\Rightarrow EM=EN$

Hình chữ nhật $EMFN$ có 2 cạnh kề $EM=EN$ nên $EMFN$ là hình vuông. 

Hình vẽ:

a: Xét tứ giác AECF có 

AE//CF

AE=CF

Do đó: AECF là hình bình hành

a: Ta có: ABCD là hình bình hành

=>AB=CD(1)

Ta có: E là trung điểm của AB

=>\(EA=EB=\dfrac{AB}{2}\left(2\right)\)

Ta có: F là trung điểm của CD

=>\(FC=FD=\dfrac{CD}{2}\left(3\right)\)

Từ (1),(2),(3) suy ra EA=EB=FC=FD

Xét tứ giác AECF có

AE//CF

AE=CF

Do đó: AECF là hình bình hành

b: Xét tứ giác AEFD có

AE//FD

AE=FD

Do đó: AEFDlà hình bình hành

Hình bình hành AEFD có \(AE=AD\left(=\dfrac{AB}{2}\right)\)

nên AEFD là hình thoi

c: Xét tứ giác EBCF có

BE//FC

BE=FC

Do đó: EBCF là hình bình hành

Hình bình hành EBCF có \(EB=BC\left(=\dfrac{AB}{2}\right)\)

nên EBCF là hình thoi

=>EC\(\perp\)BF tại trung điểm của mỗi đường

=>EC\(\perp\)BF tại K và K là trung điểm chung của EC và BF

Ta có: AEFD là hình thoi

=>AF\(\perp\)ED tại trung điểm của mỗi đường

=>AF\(\perp\)ED tại I và I là trung điểm chung của AF và ED

Ta có: AEFD là hình thoi

=>EF=AD

mà AD=DC/2

nên EF=DC/2

Xét ΔEDC có

EF là đường trung tuyến

\(EF=\dfrac{CD}{2}\)

Do đó: ΔEDC vuông tại E

Xét tứ giác EIFK có

\(\widehat{EIF}=\widehat{EKF}=\widehat{IEK}=90^0\)

=>EIFK là hình chữ nhật

d: Để EIFK là hình vuông thì FI=FK

mà \(FI=\dfrac{FA}{2};FK=\dfrac{FB}{2}\)

nên FA=FB

=>ΔFAB cân tại F

Ta có: ΔFAB cân tại F

mà FE là đường trung tuyến

nên FE\(\perp\)AB

ta có: FE\(\perp\)AB

FE//AD

Do đó: AD\(\perp\)AB

Bài 8:

a: Xét tứ giác AEFD có 

AE//FD

AE=FD

Do đó: AEFD là hình bình hành

mà AE=AD

nên AEFD là hình thoi

a,xét hbh ABCD có:

AB//DC,AB=DC

=>AE//FC,AE=FC(AE=EB,DF=FC)

vậy tứ giác AECF là hình bình hành

b, tứ giác AEFD là hình bình hành 

Vì AE=DF,AE//DF(AB//DC,AE=EB,DF=FC)

c,xét tứ giác EBFD có:

EB//DF,EB=DF(AB//CD,AE=EB,DF=FC)

=>EI=KF(gt)

     EI//KF(gt)

vậy EIFK là hình bình hành (1)

lại có:

góc AFD và BFC đối xứng qua DC nên:

AFD=BFC(AFD+BFC=90 độ)

góc DFC=AFD+EFA+BEF+BFC=(EFA+BEF)+(AFD+BFC)=180 độ

       BFA=(EFA+BFE)+90 độ=180 độ

     =>BFA=90 độ(2)

Từ (1)và (2) suy ra:

EIFK là hình chữ nhật

d, đk: có 1 góc vuông tronh ABCD

b9,có hình AABC thật à:<

a) E, F là trung điểm AB, CD ⇒ AE = EB = AB/2, DF = FC = CD/2.

Ta có: AB = CD = 2AD = 2BC

⇒ AE = EB = BC = CF = FD = DA.

+ Tứ giác ADFE có AE // DF, AE = DF

⇒ ADFE là hình bình hành.

Hình bình hành ADFE có Â = 90º

⇒ ADFE là hình chữ nhật.

Hình chữ nhật ADFE là hình chữ nhật có AE= AD

⇒ ADFE là hình vuông.

b) Tứ giác DEBF có EB // DF, EB = DF nên là hình bình hành

Do đó DE // BF

Tương tự: AF // EC

Suy ra EMFN là hình bình hành

Theo câu a, ADFE là hình vuông nên ME = MF, ME ⊥ MF.

Hình bình hành EMFN có M̂ = 90º nên là hình chữ nhật.

Lại có ME = MF nên EMFN là hình vuông.

a) Tứ giác ADFE có AE // DF, AE = DF nên là hình bình hành.

Hình bình hành ADFE có = 90⁰ nên là hình chữ nhật.

Hình chữ nhật ADFE có AE = AD nên là hình vuông.

b) Tứ giác DEBF có EB // DF, EB = DF nên là hình bình hành.

Do đó DE // BF

Tương tự AF // EC

Suy ra EMFN là hình bình hành.

Theo câu a, ADFE là hình vuông nên ME = MF, ME ⊥ MF.

Hình bình hành EMFN có = 90⁰ nên là hình chữ nhật, lại có ME = MF nên là hình vuông