Vì x,y,z là các số nguyên dương

nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :

\(x+y\ge2\sqrt{xy}\)(1)

\(y+z\ge2\sqrt{yz}\)(2)

\(z+x\ge2\sqrt{zx}\)(3)

Nhân (1), (2) và (3) theo vế ta có :

\(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge2\sqrt{xy}\cdot2\sqrt{yz}\cdot2\sqrt{zx}=8\sqrt{xy\cdot yz\cdot zx}=8\sqrt{x^2y^2z^2}=8\left|xyz\right|=8xyz\)

( do x,y,z là các số nguyên dương )

Đẳng thức xảy ra <=> x = y = z

=> đpcm

áp dụng BĐT AM-GM 

ta có \(x+y\ge2\sqrt{xy}\)

\(y+z\ge2\sqrt{yz}\)

\(z+x\ge2\sqrt{zx}\)

=>\(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge2\sqrt{xy}.2\sqrt{yz}.2\sqrt{zx}=8xyz\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y\\y=z\\z=x\end{cases}\Leftrightarrow x=y=z\left(ĐPCM\right)}\)

P/s : Mik ko chắc 

Áp dụng BĐT Cô - si , ta có : 

\(\frac{x+y}{2}\ge\sqrt{xy}\Rightarrow x+y\ge2\sqrt{xy}\left(1\right)\)

\(\frac{y+z}{2}\ge\sqrt{yz}\Rightarrow y+z\ge2\sqrt{yz}\left(2\right)\)

\(\frac{z+x}{2}\ge\sqrt{zx}\Rightarrow z+x\ge2\sqrt{zx}\left(3\right)\)

Từ \(\left(1\right);\left(2\right);\left(3\right)\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge2\sqrt{xy}.2\sqrt{yz}.2\sqrt{zx}\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge8.\sqrt{x^2y^2z^2}\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge8\left(\sqrt{xyz}\right)^2\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge8xyz\)

Dấu \("="\)

\(\Leftrightarrow x=y=z\)

\(\left(đpcm\right)\)

~ Ủng hộ nhé 

\(\Leftrightarrow2x^2+x+2=y\left(2x-1\right)\)

\(\Leftrightarrow y=\dfrac{2x^2+x+2}{2x-1}=x+1+\dfrac{3}{2x-1}\)

\(y\in Z\Rightarrow\dfrac{3}{2x-1}\in Z\)

Mà x nguyên dương \(\Rightarrow2x-1>0\)

\(\Rightarrow2x-1=Ư\left(3\right)\Rightarrow x=\left\{1;2\right\}\) 

\(\Rightarrow\left(x;y\right)=\left(1;5\right);\left(2;4\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhia dạng phân thức cho 3 số ta có:

\(\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{x+z}+\dfrac{z^2}{x+y}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\dfrac{x+y+z}{2}=\dfrac{2}{2}=1\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\begin{matrix}\dfrac{x}{y+z}=\dfrac{y}{z+x}=\dfrac{z}{x+y}\\x,y,z>0;x+y+z=2\end{matrix}\)

\(\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{2}{3}\)

Áp dụng BĐT Svac-xơ cho 3 số dương có :

\(\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{z^2}{x+y}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2.\left(x+y+z\right)}=1\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{2}{3}\)

Vậy Min biểu thức cho là 1 khi \(x=y=z=\dfrac{2}{3}\)

Áp dụng bất đẳng thức Co-si cho hai số không âm ta có: 

\(x+y\ge2\sqrt{xy}\)

\(y+z\ge2\sqrt{yz}\)

\(z+x\ge2\sqrt{zx}\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge8\sqrt{\left(xyz\right)^2}=8xyz\)

Dấu "=" <=> x = y = z. (đpcm)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :

\(x+y\ge2\sqrt{xy};y+z\ge2\sqrt{yz};z+x\ge2\sqrt{zx}\)

Nhân vế với vế các bđt trên ta được bđt cần cm 

Đẳng thức xảy ra <=> x = y = z :v

Ta có: x²+y²+2xy-4x-2y+1=0

      ⇔(x²+y²+2xy-2x-2y+1)-2x=0

      ⇔(x+y-1)²=2x

Mà (x+y-1)² là số chính phương

⇒2x là số chính phương

⇒2x chia 4 dư 0 hoặc 1

Mà 2x là số chẵn 

⇒2x chia hết cho 4

⇒x chia hết cho 2

⇒x là số chẵn(đpcm)

Lại có:(x+y-1)²=2x

⇒\(\dfrac{\left(x+y-1\right)^2}{2}\)=x

⇒\(\dfrac{\left(x+y-1\right)^2}{2}\): 2=x:2

⇒\(\dfrac{\left(x+y-1\right)^2}{2}\). \(\dfrac{1}{2}\) =x:2

⇒\(\dfrac{\left(x+y-1\right)^2}{4}\)=x:2

⇒(\(\dfrac{x+y-1}{2}\))²=x:2  

Mà \(\left(\dfrac{x+y-1}{2}\right)^2\) là số chính phương

⇒x:2 là số chính phương (đpcm)

bạn bấm vào đúng 0 sẽ ra kết quả 

mình làm bài này rồi