1: ΔABC cân tại A 

=>AB=AC

mà OB=OC

nên AO là trung trực của BC

=>AD là đường kính của (O)

2: Xét (O) có

góc ACD là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

=>góc ACD=90 độ

3: ΔABC cân tại A

mà AH là đường cao

nên H là trung điểm của BC

=>HB=HC=BC/2=12cm

AH=căn AB^2-AH^2=16cm

ΔACD vuông tại C có CH là đường cao

nên AC^2=AH*AD

=>AD=20^2/16=25cm

=>R=12,5cm

Gọi O là trung điểm AH, tam giác AHN vuông tại N nên N thuộc đường tròn đường kính AH

Do ABC cân tại A \(\Rightarrow\) AM là đường cao đồng thời là trung tuyến

\(\Rightarrow\) M là trung điểm BC

Trong tam giác vuông NBC, NM là trung tuyến ứng với cạnh huyền

\(\Rightarrow MN=MB=\dfrac{1}{2}BC\Rightarrow\Delta MNB\) cân tại M

\(\Rightarrow\widehat{MNB}=\widehat{MBN}\) (1)

Tương tự, trong tam giác vuông ANH, ta có: \(ON=OH=\dfrac{1}{2}AH\Rightarrow\widehat{ONH}=\widehat{OHN}\) 

Mà \(\widehat{OHN}=\widehat{MHB}\) (đối đỉnh)  \(\Rightarrow\widehat{ONH}=\widehat{MHB}\) (2)

Lại có tam giác HBM vuông tại M \(\Rightarrow\widehat{MHB}+\widehat{MBN}=90^0\) (3)

(1);(2);(3) \(\Rightarrow\widehat{ONH}+\widehat{MNB}=90^0\) hay \(MN\perp ON\)

\(\Rightarrow MN\) là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AH

a) Ta có: \(\angle AFH+\angle AEH=90+90=180\Rightarrow AEHF\) nội tiếp

Gọi D là trung điểm AH

Vì \(\Delta AEH\) vuông tại E có D là trung điểm AH \(\Rightarrow DE=DA=DH\)

Tương tự \(\Rightarrow DF=DA=DH\Rightarrow DE=DF=DA=DH\)

\(\Rightarrow D\) là tâm (AEHF)

Tương tự,ta chứng minh BCEF nội tiếp đường tròn có tâm là BC

b) Xét \(\Delta MFB\) và \(\Delta MCE:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle EMCchung\\\angle MFB=\angle MCE\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta MFB\sim\Delta MCE\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{MF}{MC}=\dfrac{MB}{ME}\Rightarrow ME.MF=MB.MC\)

Xét \(\Delta MNB\) và \(\Delta MCA:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle AMCchung\\\angle MNB=\angle MCA\end{matrix}\right.\)​​

​\(\Rightarrow\Delta MNB\sim\Delta MCA\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{MN}{MC}=\dfrac{MB}{MA}\Rightarrow MN.MA=MB.MC\)​

\(\Rightarrow MN.MA=ME.MF\Rightarrow\dfrac{MN}{ME}=\dfrac{MF}{MA}\)

Xét \(\Delta MNF\) và \(\Delta MEA:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle AMEchung\\\dfrac{MN}{ME}=\dfrac{MF}{MA}\end{matrix}\right.\)​​

\(\Rightarrow\Delta MNF\sim\Delta MEA\left(c-g-c\right)\Rightarrow\angle MNF=\angle MEA\Rightarrow ANFE\) nội tiếp

c) ANFE nội tiếp mà AEHF nội tiếp \(\Rightarrow A,E,H,F,N\) cùng thuộc 1 đường tròn

\(\Rightarrow\angle ANH=\angle AFH=90\Rightarrow NH\bot AN\)

Vì AK là đường kính \(\Rightarrow\angle ANK=90\Rightarrow NK\bot AN\)

\(\Rightarrow N,H,K\) thẳng hàng

câu c theo nha

câu c nha

c