Cho dãy số: \(U_n=\dfrac{\left(13+\sqrt{3}\right)^n-\left(13-\sqrt{3}\right)^n}{2\sqrt{3}}\)
Với \(n=1;2;3;....\)
a) Tính \(U_1,U_2,U_3\) (ý này mình làm được rồi nhé!!!)
b) CMR: \(U_{n+1}=26U_n-166U_{n-1}\)
Giúp mình nha!
Xét tính tăng , giảm của các dãy số \(\left(u_n\right)\) biết :
\(a,u_n=\dfrac{\left(-1\right)^n}{n+2}\)
\(b,u_n=\sqrt{n+3}-\sqrt{n}\)
Xét tính tăng , giảm của các dãy số \(\left(u_n\right)\) biết :
\(a,u_n=\dfrac{\left(-1\right)^n}{n+2}\)
\(b,u_n=\sqrt{n+3}-\sqrt{n}\)
cho dãy số(un) được xác định bởi \(\left\{{}\begin{matrix}u_1=2\\u_{n+1}=\sqrt{\dfrac{n+1}{n}}\left(u_n+3\right)-3\end{matrix}\right.\) ,n=1,2,...Tìm công thức tổng quát của dãy số (un) và tính \(\lim\limits\dfrac{u_n}{\sqrt{n}}\) .
\(u_2=\sqrt{2}\left(2+3\right)-3=5\sqrt{2}-3\)
\(u_3=\sqrt{\dfrac{3}{2}}.5\sqrt{2}-3=5\sqrt{3}-3\)
\(u_4=\sqrt{\dfrac{4}{3}}.5\sqrt{3}-3=5\sqrt{4}-3\)
....
\(\Rightarrow u_n=5\sqrt{n}-3\)
\(\Rightarrow\lim\limits\dfrac{u_n}{\sqrt{n}}=\lim\limits\dfrac{5\sqrt{n}-3}{\sqrt{n}}=5\)
Tính giới hạn của dãy số:
\(u_n=\dfrac{1}{2\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}\)
Một câu thôi: Liên hợp
\(\dfrac{1}{2\sqrt{1}+\sqrt{2}}=\dfrac{2.1-\sqrt{2}}{2^2-2}=\dfrac{2-\sqrt{2}}{2}=1-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\dfrac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}=\dfrac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{9.2-4.3}=\dfrac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{6}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\)
Nên chứng minh bằng quy nạp mạnh cho chặt chẽ, giờ tui buồn ngủ quá nên bạn tự chứng minh nha :(
\(\Rightarrow u_n=1-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}=\dfrac{\sqrt{n+1}-1}{\sqrt{n+1}}\Rightarrow\lim\limits\left(u_n\right)=\lim\limits\dfrac{\sqrt{\dfrac{n}{n}+\dfrac{1}{n}}-\dfrac{1}{\sqrt{n}}}{\sqrt{\dfrac{n}{n}+\dfrac{1}{n}}}=1\)
Bài 1: Cho dãy (Un): \(\left\{{}\begin{matrix}U_1=1\\U_{n+1}=2U_n+3\end{matrix}\right.\)
a) Tìm: U5
b) Tìm số hạng tổng quát của dãy (Un)
Bài 2: Xét tính tăng, giảm
a) \(U_n=\dfrac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n}\)
b) \(\left(U_n\right):\left\{{}\begin{matrix}U_n=3\\U_{n+1}=\sqrt{1+U_n^2}\end{matrix}\right.\)
Bài 3: Tìm a để (Un): \(U_n=\dfrac{an+2}{n+1}\) là dãy tăng
Bài 4: Xét tính bị chặn:
a) \(U_n=\dfrac{n^2+1}{2n^2-3}\)
b) \(U_n=\dfrac{n-1}{\sqrt{n^2+1}}\)
Bài 5: Cho dãy: \(\left\{{}\begin{matrix}U_1=\sqrt{2}\\U_n+1=\sqrt{U_n+2}\end{matrix}\right.\), (Un)
Chứng minh rằng: (U1) tăng, bị chặn trên bởi 2
1:
a: \(u_2=2\cdot1+3=5;u_3=2\cdot5+3=13;u_4=2\cdot13+3=29;\)
\(u_5=2\cdot29+3=61\)
b: \(u_2=u_1+2^2\)
\(u_3=u_2+2^3\)
\(u_4=u_3+2^4\)
\(u_5=u_4+2^5\)
Do đó: \(u_n=u_{n-1}+2^n\)
Cho dãy số (Un) được xác định như sau: \(\left\{{}\begin{matrix}u_1=1\\u_{n+1}=\sqrt{u_n.\left(u_n+1\right).\left(u_n+2\right).\left(u_n+3\right)+1}\end{matrix}\right.,\forall n\in N\). Đặt \(v_n=\sum\limits^n_{i=1}\dfrac{1}{u_i+2}\). Tính \(v_{2020}\)
Cho dãy \(\left(x_k\right)\) được xác định như sau: \(x_k=\dfrac{1}{2!}+\dfrac{2}{3!}+...+\dfrac{k}{\left(k+1\right)!}\)
Tìm \(limu_n\) với \(u_n=\sqrt[n]{x_1^n+x_2^n+...+x_{2011}^n}\).
Ủa đề bài như này là sao bạn? Cho dãy x(k), nhưng lại đi tìm u(n)?
Ok start
\(\dfrac{1}{2!}=\dfrac{2!-1}{2!}=1-\dfrac{1}{2!};\dfrac{2}{3!}=\dfrac{1}{3}=\dfrac{3!-2!}{3!.2!}=\dfrac{1}{2!}-\dfrac{1}{3!}\)
\(\Rightarrow\dfrac{k}{\left(k+1\right)!}=\dfrac{1}{k!}-\dfrac{1}{\left(k+1\right)!}\)
Explain: \(\dfrac{1}{k!}-\dfrac{1}{\left(k+1\right)!}=\dfrac{\left(k+1\right)k!-k!}{k!\left(k+1\right)!}=\dfrac{k+1-1}{\left(k+1\right)!}=\dfrac{k}{\left(k+1\right)!}\)< Có nên xài quy nạp mạnh cho chặt chẽ hơn ko nhỉ?>
Nhớ lại 1 bài toán lớp 6 cũng có dạng như này
\(\Rightarrow x_k=1-\dfrac{1}{\left(k+1\right)!}\)
Xet \(x_{k+1}-x_k=1-\dfrac{1}{\left(k+2\right)!}-1+\dfrac{1}{\left(k+1\right)!}=\dfrac{1}{\left(k+1\right)!}-\dfrac{1}{\left(k+2\right)!}>0\Rightarrow x_{k+1}>x_k\)
\(\Rightarrow x_1< x_2< ...< x_{2011}\Rightarrow x_1^n< x_2^n< ...< x_{2011}^n\)
\(\Rightarrow\sqrt[n]{x_1^n+x_2^n+...+x_{2011}^n}< \sqrt[n]{x_{2011}^n+x^n_{2011}+...+x^n_{2011}}=\sqrt[n]{2011.x^n_{2011}}=x_{2011}.\sqrt[n]{2011}\)
Mat khac: \(x_{2011}=\sqrt[n]{x^n_{2011}}< \sqrt[n]{x_1^n+x_2^n+...+x_{2011}^n}\)
\(\Rightarrow x_{2011}< \sqrt[n]{x^n_1+x_2^n+...+x_{2011}^n}< \sqrt[n]{2011}x_{2011}\)
\(\lim\limits x_{2011}=1-\dfrac{1}{2012!}\)
\(\lim\limits\sqrt[n]{2011}x_{2011}=\lim\limits2011^0.x_{2011}=1-\dfrac{1}{2012!}\)
\(\Rightarrow\lim\limits\left(u_n\right)=1-\dfrac{1}{2012!}\)
Xin dung cuoc choi tai day, ban check lai xem dung ko, tinh tui hay au co khi sai :v
Cho dãy số \(U_n=\left(1+\sqrt{2}\right)^n+\left(1-\sqrt{2}\right)^n+1\), với \(n\) là số nguyên dương. Tìm công thức tổng quát tính \(U_{n+1}\) theo \(U_n\) và \(U_{n-1}\) với \(n\ge2\).
Ta tính một vài giá trị đầu của Un:
\(U_1=3;U_2=7;U_3=15;U_4=35;U_5=83\)
Đặt \(U_{n+1}=aU_n+bU_{n-1}+c\) (*)
Khi đó thay lần lượt \(n=2,n=3,n=4\) vào (*), ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}15=7a+3b+c\\35=15a+7b+c\\83=35a+15b+c\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=1\\c=-2\end{matrix}\right.\)
Do đó \(U_{n+1}=2U_n+U_{n-1}-2\)
Cho dãy số \(\left(u_n\right)\) xác định bởi \(\left\{{}\begin{matrix}u_1=\sqrt{2}\\u_{n+1}=\sqrt{u_n+2},n\ge1\end{matrix}\right.\). Tính \(\lim\limits_{u_n}\)
Dễ dàng nhận thấy \(u_n\) là dãy dương
Ta sẽ chứng minh \(u_n< 2\) ; \(\forall n\)
Với \(n=1\Rightarrow u_1=\sqrt{2}< 2\) (thỏa mãn)
Giả sử điều đó đúng với \(n=k\) hay \(u_k< 2\)
Ta cần chứng minh \(u_{k+1}< 2\)
Thật vậy, \(u_{k+1}=\sqrt{u_k+2}< \sqrt{2+2}=2\) (đpcm)
Do đó dãy bị chặn trên bởi 2
Lại có: \(u_{n+1}-u_u=\sqrt{u_n+2}-u_n=\dfrac{u_n+2-u_n^2}{\sqrt{u_n+2}+u_n}=\dfrac{\left(u_n+1\right)\left(2-u_n\right)}{\sqrt{u_n+2}+u_n}>0\) (do \(u_n< 2\))
\(\Rightarrow u_{n+1}>u_n\Rightarrow\) dãy tăng
Dãy tăng và bị chặn trên nên có giới hạn hữu hạn. Gọi giới hạn đó là k>0
Lấy giới hạn 2 vế giả thiết:
\(\lim\left(u_{n+1}\right)=\lim\left(\sqrt{u_n+2}\right)\Leftrightarrow k=\sqrt{k+2}\)
\(\Leftrightarrow k^2-k-2=0\Rightarrow k=2\)
Vậy \(\lim\left(u_n\right)=2\)