a) Giải bất phương trình sau:
x-1/2 - x-2/3 =< x - x-3/4
b) Chứng minh rằng các biểu thức: ab - a - b + 1; bc -b -c + 1; ca - c -a +1 không thể có cùng giá trị âm
* =<: nhỏ hơn hoặc bằng.
Chứng minh rằng các biểu thức sau có giá trị luôn âm với mọi giá trị của biến a) A = 4 – x2 + 2x b) B = (x + 3)(4 – x) . giúp vớiiiiii :)
a. Đề sai, với \(x=0\Rightarrow A=4>0\)
b. Đề sai, với \(x=0\Rightarrow B=12>0\)
Cho bất phương trình 3 - 2x < 15 - 5x và bất phương trình 3 - 2x < 7. Hãy :
a) Giải các bất phương trình đã cho và biểu diễn tập nghiệm của mỗi bất phương trình trên một trục số ( biểu diện hộ luôn đi)
b) Tìm các giá trị nguyên của x thỏa mãn đồng thời cả hai bất phương trình trên ?
Cho biểu thức: B=\(\left[\dfrac{x+1}{2x-2}+\dfrac{3}{x^2-1}-\dfrac{x+3}{2x+2}\right].\dfrac{4x^2-4}{5}\)
a, Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức được xác định
b, Chứng minh rằng: Khi giá trị của biểu thức được xác định thì nó không phụ thuộc vào giá trị
a, ĐKXĐ: \(x\ne1;x\ne-1\)
b, Với \(x\ne1;x\ne-1\)
\(B=\left[\dfrac{x+1}{2\left(x-1\right)}+\dfrac{3}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}-\dfrac{x+3}{2\left(x+1\right)}\right]\cdot\dfrac{4\left(x^2-1\right)}{5}\\ =\left[\dfrac{x^2+2x+1+6-x^2-2x+3}{2\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\right]\cdot\dfrac{4\left(x^2-1\right)}{5}\\ =\dfrac{5}{x^2-1}\cdot\dfrac{4\left(x^2-1\right)}{5}\\ =4\)
=> ĐPCM
Giải các phương trình và bất phương trình sau
a)\(\left|x-9\right|\) \(=2x+5\)
b) \(\dfrac{1-2x}{4}\) \(-2\) ≤ \(\dfrac{1-5x}{8}\) + x
c)\(\dfrac{2}{x-3}\)\(+\dfrac{3}{x+3}\)\(=\dfrac{3x+5}{x^2-9}\)
|x-9|=2x+5
Xét 3 TH
TH1: x>9 => x-9=2x+5 =>-9-5=x =>x=-14 (L)
TH2: x<9 => 9-x=2x+5 => 9-5=3x =>x=4/3(t/m)
TH3: x=9 =>0=23(L)
Vậy x= 4/3
Ta có:\(\dfrac{1-2x}{4}-2\le\dfrac{1-5x}{8}+x\\ \)
\(\dfrac{2-4x-16}{8}\le\dfrac{1-5x+8x}{8}\)
\(-4x-14\le1+3x\\ \Leftrightarrow7x+15\ge0\\ \Leftrightarrow x\ge-\dfrac{15}{7}\)
Ta có:
\(\dfrac{2}{x-3}+\dfrac{3}{x+3}=\dfrac{3x+5}{x^2-9}\)
\(\dfrac{2\left(x+3\right)+3\left(x-3\right)}{x^2-9}=\dfrac{3x+5}{x^2-9}\)
\(5x-4=3x+5\Leftrightarrow2x=9\Leftrightarrow x=\dfrac{9}{2}\)
Bài 1. Giải phương trình :
\(\sqrt{x-1}+\sqrt{3-x}=3x^2-4x-2\)
Bài 2. Tìm tất cả các bộ 3 số nguyên không âm (x ; y; z) thoả mãn đẳng thức :
\(2012^x+2013^y=2014^z\)
Bài 3. Cho phương trình bậc hai : \(x^2+\left(m+n\right)+m+1=0\) với m và n là các số nguyên trong đó \(m\ne1\).
a) Chứng minh rằng : Với mọi giá trị của m, luôn có 1 giá trị của n không đổi để phương trình đã cho có nghiệm x nguyên.
b) Chứng minh rằng : Khi phương trình đã cho có hai nghiệm nguyên thì \(\left(m+n\right)^2+m^2\) là hợp số.
HELP MEEEEEEEEEEEEEEEE !!! PLEASE !!!
Bài 1:
ĐKXĐ: \(1\leq x\leq 3\)
Ta có:
\(\sqrt{x-1}+\sqrt{3-x}=3x^2-4x-2\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{x-1}-1+\sqrt{3-x}-1=3x^2-4x-4\)
\(\Leftrightarrow \frac{x-2}{\sqrt{x-1}+1}+\frac{2-x}{\sqrt{3-x}+1}=(x-2)(3x+2)\)
\(\Leftrightarrow (x-2)\left(3x+2+\frac{1}{\sqrt{3-x}+1}-\frac{1}{\sqrt{x-1}+1}\right)=0(1)\)
Với mọi $1\leq x\leq 3$ ta luôn có \(3x+2\geq 5; \frac{1}{\sqrt{3-x}+1}>0; \frac{1}{\sqrt{x-1}+1}\leq 1\)
\(\Rightarrow 3x+2+\frac{1}{\sqrt{3-x}+1}-\frac{1}{\sqrt{x-1}+1}>0(2)\)
Từ (1);(2) suy ra \(x-2=0\Rightarrow x=2\)
Vậy $x=2$ là nghiệm duy nhất của pt đã cho.
Bài 2:
Với mọi $x,y,z$ nguyên không âm thì :
\(2014^z=2012^x+2013^y\geq 2012^0+2013^0=2\Rightarrow z\geq 1\)
Với $z\geq 1$ thì ta luôn có \(2012^x+2013^y=2014^z\) là số chẵn
Mà \(2013^y\) luôn lẻ nên \(2012^x\) phải lẻ. Điều này chỉ xảy ra khi $x=0$
Vậy $x=0$
Khi đó ta có: \(1+2013^y=2014^z\)
Nếu $z=1$ thì dễ thu được $y=1$
Nếu $z>1$:
Ta có: \(2014^z\vdots 4(1)\)
Mà \(2013\equiv 1\pmod 4\Rightarrow 1+2013^y\equiv 1+1\equiv 2\pmod 4\)
Tức \(1+2013^y\not\vdots 4\) (mâu thuẫn với (1))
Vậy PT có nghiệm duy nhất \((x,y,z)=(0,1,1)\)
Bài 3:
a)
Xét \(\Delta=(m+n)^2-4(m+1)=m^2+2m(n-2)+(n-2)(n+2)\)
\(=m^2+(n-2)(2m+n+2)\)
PT có nghiệm nguyên khi và chỉ khi $\Delta$ là số chính phương.
Mà \(\Delta=m^2+(n-2)(2m+n+2)\) là scp với mọi số nguyên $m$ khi và chỉ khi $n=2$
Do đó luôn có giá trị $n=2$ không đổi để pt đã cho có nghiệm nguyên với mọi số nguyên $m$.
b) Với $m\neq -1$ thì dễ thấy $x=0$ không phải nghiệm của pt
Theo hệ thức Vi-et, với $x_1,x_2$ là hai nghiệm nguyên của pt thì:
\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=-(m+n)\\ x_1x_2=m+1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow (m+n)^2+m^2=(x_1+x_2)^2+(x_1x_2-1)^2=x_1^2+x_2^2+x_1^2x_2^2+1=(x_1^2+1)(x_2^2+1)\) là hợp số với mọi $x_i\neq 0$
Do đó ta có đpcm.
bài 1: tìm các hệ số a và b của đa thức f(x)=a+b biết rằng f(1)=1,f(2)=4
bài 2:cho đa thức f(x)=ax^2+bx+c bằng 0 với mọi giá trị của x. chứng minh rằng a=b=c=0
bài 3: cho đa thức P(x)=ax^2+bx+c trong đó các hệ số a,b,c là các số nguyên. biết rằng giá trị của đa thức chia hết cho 3 với mọi giá trị nguyên của x. chứng minh rằng a,b,c đều chia hết cho 3
Bài 1:
Theo đề, ta có hệ phương trình:
\(\left\{{}\begin{matrix}a+b=1\\2a+b=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=3\\b=-2\end{matrix}\right.\)
1.cho biểu thức \(P=\left(\frac{2x+\sqrt{x}}{x\sqrt{x}-1}-\frac{2}{x+\sqrt{x}+1}+\frac{1}{1-\sqrt{x}}\right):\frac{\sqrt{x}-1}{2}\)
a, rút gọn biểu thức P
b,tìm các giá trị của x để biểu thức P có giá trị nguyên
2.. tìm các cặp số nguyên(x;y) thỏa mãn \(x^2+xy-3x-y-5=0\)
3..giải phương trình \(2\sqrt{2x+4}+4\sqrt{2-x}=\sqrt{9x^2+16}\)
a) Giả bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên trục số
3x- (7x+2) > 5x+4
b) Chứng minh rằng 2x2 + 4x +3 > 0 với mọi x
a, 3x-7x-2>5x+4
<-> 3x-7x-5x > 4+2
<-> -9x >6
<-> x<-2/3
b, 2x2+4x+3>0 <=> 2(x2+2x+1)-2+3=2(x+1)2+1
vì 2(x+1)2 >0 ;1>0 => 2x2+4x+3 >0
Bài 1: Cho a,b,c là các số dương. Chứng minh các bất đẳng thức:
\(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}>2\)
( dùng cô -si )
bài 2( dùng định nghĩa )
1) Cho abc=1 và \(a^3>36\)Chứng minh rằng \(\frac{a^2}{3}+b^2+c^2>ab+bc+ca\)
2) Chứng minh rằng a) \(x^4+y^4+z^4+1\ge2x\left(xy^2-x+z+1\right)\)
b) Với mọi số thực a,b,c ta có: \(a^2+5b^2-4ab+2a-6b+3>0\)
c) \(a^2+2b^2-2ab+2a-4b+2\ge0\)
Tiện tay chém trước vài bài dễ.
Bài 1:
\(VT=\Sigma_{cyc}\sqrt{\frac{a}{b+c}}=\Sigma_{cyc}\frac{a}{\sqrt{a\left(b+c\right)}}\ge\Sigma_{cyc}\frac{a}{\frac{a+b+c}{2}}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)
Nhưng dấu bằng không xảy ra nên ta có đpcm. (tui dùng cái kí hiệu tổng cho nó gọn thôi nha!)
Bài 2:
1) Thấy nó sao sao nên để tối nghĩ luôn
2)
c) \(VT=\left(a-b+1\right)^2+\left(b-1\right)^2\ge0\)
Đẳng thức xảy ra khi a = 0; b = 1
2b) \(VT=\left(a-2b+1\right)^2+\left(b-1\right)^2+1\ge1>0\)
Có đpcm
Ồ bài 2 a mới sửa đề ak:)