Vì \(\left|a\right|\le1;\left|b-1\right|\le2\)

\(=>\left|a\right|\cdot\left|b-1\right|=\left|ab-a\right|\le2\)

Áp dụng BĐT \(\left|x\right|+\left|y\right|\ge\left|x+y\right|\) ta có:

\(\left|a-c+ab-a\right|\le\left|a-c\right|+\left|ab-a\right|=2+3=5\)

\(=>\left|ab-c\right|\le5\)

Vì a+b=1-ab nên a=0 và b=1 hoặc b=0 và a=1

TH1: 

Nếu a=0 và b=1 thì trong biểu thức b+c=3-bc \(c\in\varnothing\)

=> Trường hợp này không thỏa mãn đề bài

TH2:

Nếu a=1 và b=0 thì trong biểu thức b+c=3-bc c=3 vì 0+3=3-0*3=3

Vậy a=1;b=0;c=3

=>S=a^2019+b^2019+c^2019

    S=1^2019+0^2019+3^2019

    S=1+0+3^2019

    S=1+3^2019

Còn lại anh tự tính nhé, em chịu.

Với lại em mới lớp 6 thôi nên nếu em sai anh đừng ném đá em. Em cảm ơn anh!

sai rồi em

a + b + c = a^3 + b^3 + c^3 = 1

<=> (a + b + c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 = 1

<=> a^3 + b^3 + c^3 + 3(a + b)(b + c)(c + a) = a^3 + b^3 + c^3

=> 3(a + b)(b + c)(c + a) = 0

=> a + b = 0 hoặc b + c = 0 hoặc c + a = 0

+ Nếu a + b = 0 => a = -b

Thay a + b = 0 vào đề => c = 1

P = a^2017 + b^2017 + c^2017 = a^2017 + (-a)^2017 + 1^2017 = 1

Tương tự với 2 trường hợp còn lại ta cũng được P = 1

Vì a+b+c=0 nên ab,bc,ac bằng 0

Hôm qua em không có online. Bài này căng não@@

Đặt \(p=a+b+c;q=ab+bc+ca;r=abc\Rightarrow q=3\) thì \(p^2\ge3q=9\Rightarrow p\ge3\)

Chú ý: \(-4p^3r + p^2q^2 + 18pqr - 4q^3 - 27r^2=(a-b)^2 (b-c)^2 (c-a)^2 \geq 0\)

\(\Rightarrow\) \(1/27(-2p^3-2\sqrt{(p^2-3q)^3}+9pq) \leq r \leq 1/27(-2p^3+2\sqrt{(p^2-3q)^3}+9pq)\)

Hay là: \(\frac{1}{27}\left(-2p^3-2\sqrt{\left(p^2-9\right)^3}+27p\right)\le r\le\frac{1}{27}\left(-2p^3+2\sqrt{\left(p^2-9\right)^3}+27p\right)\)

Nếu \(a\ge b\ge c\Rightarrow a^2b+b^2c+c^2a\ge ab^2+bc^2+ca^2\)

\(\Rightarrow a^2b+b^2c+c^2a\ge\frac{1}{2}\Sigma ab\left(a+b\right)=\frac{1}{2}\left(pq-3r\right)=\frac{3}{2}\left(p-3r\right)\)

Do đó: \(P\ge\frac{1}{2}\left(p-3r\right)+\sqrt[3]{9p}\ge\frac{1}{2}\left(p-\frac{1}{27}\left(-2p^3+2\sqrt{\left(p^2-9\right)^3}+27p\right)\right)+3\)

\(\ge\frac{1}{27}p^3-\frac{1}{27}\sqrt{\left(p^2-9\right)^3}+3=f\left(p\right)\). Dễ thấy khi p tăng thì f(p) tăng.

Do đó f(p) đạt giá trị nhỏ nhất khi p đạt giá trị nhỏ nhất. Hay là: \(f\left(p\right)\ge f\left(3\right)=4=VP\)

Trường hợp còn lại tối về em đăng, đang bận!

Nếu \(a\le b\le c\Rightarrow\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)\le0\)

\(\Rightarrow\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)=-\left|\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)\right|=-\sqrt{\left(a-b\right)^2\left(b-c\right)^2\left(c-a\right)^2}\)

\(=-\sqrt{-4p^3r + p^2q^2 + 18pqr - 4q^3 - 27r^2}\)

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

Chú ý: \(-4p^3r + p^2q^2 + 18pqr - 4q^3 - 27r^2=(a-b)^2 (b-c)^2 (c-a)^2 \geq 0\)

\(\Rightarrow\) \(1/27(-2p^3-2\sqrt{(p^2-3q)^3}+9pq) \leq r \leq 1/27(-2p^3+2\sqrt{(p^2-3q)^3}+9pq)\)

Hay là: \(\frac{1}{27}\left(-2p^3-2\sqrt{\left(p^2-9\right)^3}+27p\right)\le r\le\frac{1}{27}\left(-2p^3+2\sqrt{\left(p^2-9\right)^3}+27p\right)\)

Ta có: \(2\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)=\Sigma ab\left(a+b\right)+\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)\)

\(=pq-3r-\sqrt{-4p^3r + p^2q^2 + 18pqr - 4q^3 - 27r^2}\)

\(=3p-3r-\sqrt{-4p^3r + 9p^2 + 54pr - 108 - 27r^2}\)

Do đó: \(a^2b+b^2c+c^2a\)​​\(=\frac{3p-3r-\sqrt{-4p^3r + 9p^2 + 54pr - 108 - 27r^2}}{2}\)

Do đó: \(P\)\(=\frac{3p-3r-\sqrt{-4p^3r + 9p^2 + 54pr - 108 - 27r^2}}{6}\)\(+\sqrt[3]{9p}\ge4\)

\(\Leftrightarrow\frac{3p-3r}{6}+\sqrt[3]{9p}\ge4+\)\(\frac{\sqrt{-4p^3r + 9p^2 + 54pr - 108 - 27r^2}}{6}\)

Or \(3p-3r+6\sqrt[3]{9p}-24\ge\)\(\sqrt{-4p^3r + 9p^2 + 54pr - 108 - 27r^2}\)

Vì: \(VT=3p-3r+6\sqrt[3]{9p}-24\ge3p-\frac{pq}{3}+18-24=0\)

Nên bất đẳng thức trên tương đương:

​​\(\left(3p-3r+6\sqrt[3]{9p}-24\right)^2\ge\) \(-4p^3r + 9p^2 + 54pr - 108 - 27r^2\)

Em chịu thua :( @Akai Haruma @Nguyễn Việt Lâm giúp em với ạ.

bài này bạn lấy ở InMC hả Phạm Hoàng Lê Nguyên