\(a)\) Ta có : 

\(M=a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2+b^2-ab\right)\)

Thay \(a+b=1\) vào \(M=\left(a+b\right)\left(a^2+b^2-ab\right)\) ta được : 

\(M=\left(a+b\right)\left(a^2+b^2-ab\right)=1\left(a^2+b^2-ab\right)=a^2+b^2-ab\)

Lại có : 

\(a^2\ge0\)

\(b^2\ge0\)

\(\Rightarrow\)\(a^2+b^2\ge0\)

\(\Rightarrow\)\(a^2+b^2-ab\ge-ab\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a^2=0\\b^2=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=0\\b=0\end{cases}}}\)

Vậy \(M_{min}=-ab\) khi \(a=b=0\)

Sai thì thôi nhé, mk mới lớp 7 

dytt me dễ vãi lone

\(a^3+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3.1}{8.8}}=\frac{3}{4}a.\)

\(b^3+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\ge\frac{3}{4}b\)

\(M+\frac{4}{8}\ge\frac{3}{4}\left(a+b\right)=\frac{3}{4}\Leftrightarrow M\ge\frac{3}{4}-\frac{4}{8}=?\) tự tính dcmmm

b.

\(a^3+1+1\ge3\sqrt[3]{a^3}=3a\)

\(b^3+1+1\ge3b\)

\(a^3+b^3+4\ge3\left(A+b\right)\)

cái dmcmmm a^3+b^3=2 suy ra

\(6\ge3\left(a+b\right)\)

\(2\ge a+b\)

dytt cụ m tự kết luận

\(5,M=a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\\ M=\left(a+b\right)\left[\left(a+b\right)^2-3ab\right]\\ M=1\left(1-3ab\right)=1-3ab\ge1-\dfrac{3\left(a+b\right)^2}{4}=1-\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{4}\\ M_{min}=\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{2}\)

Câu 5:

\(a+b=1\Rightarrow a=1-b\)

\(M=a^3+b^3=\left(1-b\right)^3+b^3=1-3b+3b^2-b^3+b^3\)

\(=1-3b+3b^2=3\left(b^2-b+\dfrac{1}{4}\right)+\dfrac{1}{4}=3\left(b-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{4}\ge\dfrac{1}{4}\)

\(minM=\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{2}\)

Câu 7:

\(a^3+b^3+abc\ge ab\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+abc-ab\left(a+b+c\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3-a^2b-ab^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2\left(a-b\right)-b^2\left(a-b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^2-b^2\right)\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\)(đúng do a,b dương)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)

giúp mình vs

5.

Với mọi a;b ta có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\Rightarrow2a^2+2b^2\ge a^2+b^2+2ab\)

\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\Rightarrow a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2=\dfrac{1}{2}\)

\(M=a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2+b^2-ab\right)=a^2+b^2-ab\)

\(M=\dfrac{3}{2}\left(a^2+b^2\right)-\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2=\dfrac{3}{2}\left(a^2+b^2\right)-\dfrac{1}{2}\ge\dfrac{3}{2}.\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}\)

\(M_{min}=\dfrac{1}{4}\) khi \(a=b=\dfrac{1}{2}\)

6.

Do \(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)=2>0\)

Mà \(a^2-ab+b^2>0\Rightarrow a+b>0\)

Mặt khác với mọi a;b ta có:

\(\left(a-b\right)^2\ge0\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\Rightarrow a^2+b^2+2ab\ge4ab\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\Rightarrow ab\le\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^2\) \(\Rightarrow-ab\ge-\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^2\)

Từ đó:

\(2=a^3+b^3=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)\ge\left(a+b\right)^3-3.\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^2\left(a+b\right)=\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^3\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)^3\le8\Rightarrow a+b\le2\)

\(N_{max}=2\) khi \(a=b=1\)

7.

Ta có:

\(a^3+b^3+abc=\left(a+b\right)\left(a^2+b^2-ab\right)+abc\ge\left(a+b\right)\left(2ab-ab\right)+abc\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+abc\ge ab\left(a+b\right)+abc=ab\left(a+b+c\right)\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b\)

8.

\(\left|a+b\right|>\left|a-b\right|\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2>\left(a-b\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2>a^2-2ab+b^2\)

\(\Leftrightarrow4ab>0\Leftrightarrow ab>0\)

\(\Rightarrow a;b\) cùng dấu

5. Ta có b = 1 – a, do đó M = a\(^3\) + (1 – a)\(^3\) = 3(a – 1⁄2)2 + 1⁄4 ≥ 1⁄4 . Dấu “=” xảy ra khi a = 1⁄2 .
Vậy min M = 1⁄4 => a = b = 1⁄2 .
6. Đặt a = 1 + x => b 3 = 2 – a\(^3\) = 2 – (1 + x)\(^3\) = 1 – 3x – 3x\(^2\)– x\(^3\) ≤ 1 – 3x + 3x\(^2\)– x\(^3\) = (1 – x)\(^3\)
Suy ra : b ≤ 1 – x. Ta lại có a = 1 + x, nên : a + b ≤ 1 + x + 1 – x = 2.
Với a = 1, b = 1 thì a\(^3\) + b\(^3\) = 2 và a + b = 2. Vậy max N = 2 khi a = b = 1.
7. Hiệu của vế trái và vế phải bằng (a – b)\(^2\)(a + b).

\(a^3+b^3=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)=5^3-3\cdot4\cdot5=65\left(A\right)\)

bài 5 nhé:

a) (a+1)²>=4a

<=>a²+2a+1>=4a

<=>a²-2a+1.>=0

<=>(a-1)²>=0 (luôn đúng)

vậy......

b) áp dụng bất dẳng thức cô si cho 2 số dương 1 và a ta có:

a+1>=\(2\sqrt{a}\)

tương tự ta có:

b+1>=\(2\sqrt{b}\)

c+1>=\(2\sqrt{c}\)

nhân vế với vế ta có:

(a+1)(b+1)(c+1)>=\(2\sqrt{a}.2\sqrt{b}.2\sqrt{c}\)

<=>(a+1)(b+1)(c+1)>=\(8\sqrt{abc}\)

<=>(a+)(b+1)(c+1)>=8 (vì abc=1)

vậy....

bạn nên viết ra từng câu

Chứ để như thế này khó nhìn lắm

bạn hỏi từ từ thôi

Giúp mình bài này với ah.

Lời giải:

Tìm min:

Áp dụng BĐT AM-GM:

$a^3+a^3+1\geq 3a^2$

$b^3+b^3+1\geq 3b^2$

$c^3+c^3+1\geq 3c^2$

$\Rightarrow 2(a^3+b^3+c^3)+3\geq 3(a^2+b^2+c^2)$

$\Leftrightarrow 2P+3\geq 9$

$\Leftrightarrow P\geq 3$

Vậy $P_{\min}=3$ khi $(a,b,c)=(1,1,1)$

----------------

Tìm max:

$a^2+b^2+c^2=3\Rightarrow a^2,b^2,c^2\leq 3$

$\Rightarrow a,b,c\leq \sqrt{3}$

Do đó: $a^3-\sqrt{3}a^2=a^2(a-\sqrt{3})\leq 0$

$\Rightarrow a^3\leq \sqrt{3}a^2$

Tương tự với $b,c$ và cộng theo vế:

$P\leq \sqrt{3}(a^2+b^2+c^2)=3\sqrt{3}$
Vậy $P_{\max}=3\sqrt{3}$ khi $(a,b,c)=(\sqrt{3},0,0)$ và hoán vị.