a) Xét tứ giác AMND có 

AM//ND

\(AM=ND\left(\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}CD\right)\)

Do đó: AMND là hình bình hành

Suy ra: AD=MN

b) Xét tứ giác BCNM có 

BM//CN

\(BM=CN\left(\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}CD\right)\)

Do đó: BCNM là hình bình hành

Xét tứ giác AMCN có 

AM//CN

\(AM=CN\left(\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}CD\right)\)

Do đó: AMCN là hình bình hành

Suy ra: AN//CM

hay EN//MF

Xét tứ giác BMDN có

BM//DN

\(BM=DN\left(\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}DC\right)\)

Do đó: BMDN là hình bình hành

Suy ra: BN//MD

hay NF//ME

Xét tứ giác MENF có 

ME//NF(cmt)

MF//NE(cmt)

Do đó: MENF là hình bình hành

CM: a) Ta có: AM = MB = 1/2AB (gt)

      ND = NC = 1/2DC (gt)

mà AB = CD (gt) => 1/2AB = 1/2CD
=> AM = MB = ND = NC

Xét tứ giác AMCN có: AM = MC (cmt)

                              AM // MC (gt)

=> tứ giác AMCN là hình bình hành

b) Xét tứ giác MBND có : MB // DM (gt)

                    MB = DN (cmt)

=> tứ giác MBND là hình bình hành

a: Gọi O là giao của AC và BD

ABCD là hình bình hành

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của AC và BD

Xét tứ giác AECG có

AE//CG

AE=CG

Do đó: AECG là hình bình hành

=>AG//CE và AG=CE

Xét tứ giác AHCF có

AH//CF

AH=CF

Do đó: AHCF là hình bình hành

=>AF//CH và AF=CH

Xét ΔANB có

E là trung điểm của AB

EM//AN

Do đó: M là trung điểm của BN

=>BM=MN

Xét ΔDMC có

G là trung điểm của DC

GN//MC

Do đó: N là trung điểm của DM

=>DN=MN=MB=1/3DB

DN=1/3DB

DO=1/2DB

Do đó: \(\dfrac{DN}{DO}=\dfrac{1}{3}:\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{3}\)

Xét ΔADC có

DO là trung tuyến

DN=2/3DO

Do đó: N là trọng tâm

=>A,N,G thẳng hàng và C,N,H thẳng hàng

Xét ΔABC có

BO là trung tuyến

BM=2/3BO

Do đó: M là trọng tâm

=>A,M,F thẳng hàng và C,M,E thẳng hàng

Xét ΔEBM và ΔGDN có

EB=GD

\(\widehat{EBM}=\widehat{GDN}\)

BM=DN

Do đó: ΔEBM=ΔGDN

=>EM=GN

Xét tứ giác EMGN có

EM//GN

EM=GN

Do đó: EMGN là hình bình hành

b: Để EMGN là hình chữ nhật thì EG=NM

=>\(AD=\dfrac{BD}{3}\)

a: Sửa MN\(\perp\)CD tại N

Xét tứ giác AMND có

\(\widehat{MND}=\widehat{MAD}=\widehat{ADN}=90^0\)
=>AMND là hình chữ nhật

b: Xét tứ giác ADBK có

M là trung điểm chung của AB và DK

=>ADBK là hình bình hành

=>AK=BD

mà BD=AC(ABCD là hình chữ nhật)

nên AK=AC

=>ΔAKC cân tại A

c: Xét ΔMAI có IE là phân giác

nên \(\dfrac{ME}{EA}=\dfrac{MI}{IA}=\dfrac{MI}{IK}\left(1\right)\)

Xét ΔIMK có IF là phân giác

nên \(\dfrac{MF}{FK}=\dfrac{IM}{IK}\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(\dfrac{ME}{EA}=\dfrac{MF}{FK}\)

Xét ΔMAK có \(\dfrac{ME}{EA}=\dfrac{MF}{FK}\)

nên EF//AK

mà AK//BD(AKBD là hình bình hành)

nên EF//BD

a: Xét tứ giác BEDF có 

BE//DF

BE=DF

Do đó: BEDF là hình bình hành

Suy ra: BF//DE

hay EM//FN

Xét tứ giác AECF có

AE//CF

AE=CF

Do đó: AECF là hình bình hành

Suy ra: AF//CE

hay MF//EN

Xét tứ giác EMFN có 

EM//FN

EN//MF

Do đó: EMFN là hình bình hành

b: Ta có: AECF là hình bình hành

nên Hai đường chéo AC và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường(1)

Ta có: EMFN là hình bình hành

nên Hai đường chéo EF và MN cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường(2)

Từ (1) và (2) suy ra AC,EF,MN đồng quy

Từ C kẻ CK // AN (1) ( K thuộc BD)

Vì AD // BC (2) nên góc ADM = góc KBC

 Từ (1) và (2) suy ra góc DAM = góc KCB

ABCD là hình bình hành => AD = BC

Suy ra được tam giác ADM = tam giác KBC (g.c.g)

=> AM = CK

Dễ dàng chứng minh được MI là đường trung bình tam giác DKC => DM = MK mà DM = KB => MK = KB

Lại có CK // MN => KC là đường trung bình tam giác BMN

=> MN = 2KC  hay MN = 2AM

  a) Do E là trung điểm của AB (gt)

⇒ AE = AB : 2

Do K là trung điểm của CD (gt)

⇒ CK = DK = CD : 2

Mà AB = CD (do ABCD là hình chữ nhật)

⇒ AE = CK

Lại có AB // CD (do ABCD là hình chữ nhật)

⇒ AE // CK

Tứ giác AECK có:

AE // CK (cmt)

AE = CK (cmt)

⇒ AECK là hình bình hành

b) Do AE = AB : 2 (cmt)

DK = CD : 2 (cmt)

AB = CD (cmt)

⇒ AE = DK

Lại có:

AB // CD (cmt)

⇒ AE // DK

Tứ giác AEKD có:

AE // DK (cmt)

AE = DK (cmt)

⇒ AEKD là hình bình hành

Mà ∠EAK = 90⁰ (do ABCD là hình chữ nhật)

⇒ AEKD là hình chữ nhật

⇒ ∠AEK = 90⁰

Hay AE ⊥ EK