a: GE//CD

=>AG/AC=AE/AD

GH//BC

=>AG/AC=AH/AB

=>AE/AD=AH/AB

=>EH//BD

b: Vì EH//BD

nên AE/ED=AH/HB

=>AE*HB=AH*DE

a) Ta có: HG // BC (gt).

\(\Rightarrow\dfrac{AH}{HB}=\dfrac{AG}{AC}\) (1) (Định lý Ta - let).

Ta có: GE // CD (gt).

\(\Rightarrow\dfrac{AE}{AD}=\dfrac{AG}{AC}\) (2) (Định lý Ta - let).

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\dfrac{AE}{AD}=\dfrac{AH}{AB}.\)

\(\Rightarrow\) HE // BD.

b) Ta có: HE // BD (cmt).

\(\Rightarrow\dfrac{AE}{DE}=\dfrac{AH}{BH}\) (Định lý Ta - let).

\(\Rightarrow AE.BH=AH.DE\left(đpcm\right).\)

Các bước giải:

 a) Vì EG // CD nên theo định lí Thalet ta có: \(\dfrac{AE}{AD}\) = \(\dfrac{AG}{AC}\) 

    Vì GH // CB nên theo định lí Thalet ta có:  \(\dfrac{AG}{AC}\)= \(\dfrac{AH}{AB}\) 

⇒ \(\dfrac{AG}{AC}\) = \(\dfrac{AH}{AB}\) ⇒ HE // BD (đpcm) (Thalet đảo)

b) HE // BD ⇒  = \(\dfrac{AH}{AB}\)

⇒  = 

⇒ \(\dfrac{AE}{DE}\) = \(\dfrac{AH}{BH}\)

⇒\(AE.BH=AH.DE\left(đpcm\right)\)

Các bước giải:

 a) Vì EG // CD nên theo định lí Thalet ta có: \(\dfrac{AG}{AC}\) 

    Vì GH // CB nên theo định lí Thalet ta có:  \(\dfrac{AG}{AC}\) = \(\dfrac{AE}{DE}\) = \(\dfrac{AH}{BH}\)

⇒ AE.BH = AH.DE

THeo thales ta có

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{EF}{AB}=\frac{CE}{CA}\\\frac{EI}{CD}=\frac{AE}{AC}\end{cases}\Rightarrow}\frac{EF}{AB}+\frac{EI}{CD}=\frac{CE}{CA}+\frac{AE}{AC}=1\)VẬY ta có đpcm

Xét tg ABC có

EF//AC  (gt) (1)

EA=EB (gt) 

=> FB=FC (Trong tg đường thẳng đi qua trung điểm của 1 cạnh và song song với 1 cạnh thì đi qua trung điểm cạnh còn lại)

Ta có

EA=EB (gt); FB=FC (cmt) => EF là đường trung bình của tg ABC

\(\Rightarrow EF=\dfrac{1}{2}AC\) (2)

Xét tg BCD chứng minh tương tự ta cũng có GC=GD

Xét tg ADC có

GF//AC (gt) (3)

GC=GD (cmt)

=> HA=HD (Trong tg đường thẳng đi qua trung điểm của 1 cạnh và song song với 1 cạnh thì đi qua trung điểm cạnh còn lại)

Ta có

GC=GD (cmt); HA=HD (cmt) => GH là đường trung bình của tg ADC

\(\Rightarrow GH=\dfrac{1}{2}AC\) (4)

Từ (1) và (3) => EF//GH (cùng // với AC)

Từ (2) và (4) \(\Rightarrow EF=GH=\dfrac{1}{2}AC\)

=> EFGH là hình bình hành (Tứ giác có 1 cặp cạnh đối // và = nhau là hbh)

b/

Gọi O là giao của AC và BD

Ta có

FG//BD (gt); GH//AC (gt) \(\Rightarrow\widehat{HGF}=\widehat{DOC}\) (Góc có cạnh tương ứng vuông góc)

Để EFGH là Hình chữ nhật \(\Rightarrow\widehat{HGF}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{HGF}=\widehat{DOC}=90^o\Rightarrow AC\perp BD\)

Để EFGH là hình chữ nhật => ABCD phải có 2 đường chéo vuông góc với nhau

AKCI ?