Ban đầu xét tam giác AIB và tam giác AKC có :

góc BAC chung ; góc AKC= góc AIB =90 độ (g)

Do vậy  tam giác AIB đồng dạng tam giác AKC (g-g) 

=> AI/AB=AK/AC (1)

Xét tam giác AIK và tam giác ABC có :

góc BAC chung ; AI/AB=AK/AC (theo (1))

Do vậy tam giác AIK đồng dạng tam giác ABC (c-g-c) 

 xét tam giác AIB và tam giác AKC có :
góc BAC chung ; góc AKC= góc AIB =90 độ (g)
Do vậy  tam giác AIB đồng dạng tam giác AKC (g-g) 
=> AI/AB=AK/AC (1)
Xét tam giác AIK và tam giác ABC có :
góc BAC chung ; AI/AB=AK/AC (theo (1))
Do vậy tam giác AIK đồng dạng tam giác ABC (c-g-c) 

Lời giải:
a. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông:

$AM.AB=AH^2$
$AN.AC=AH^2$

$\Rightarrow AM.AB=AN.AC$ (đpcm)

b.

Vì $AM.AB=AN.AC\Rightarrow \frac{AM}{AN}=\frac{AC}{AB}$

Xét tam giác $AMN$ và $ACB$ có:

$\widehat{A}$ chung

$\frac{AM}{AN}=\frac{AC}{AB}$ (cmt)

$\Rightarrow \triangle AMN\sim \triangle ACB$ (c.g.c)

Ta có đpcm.

Hình vẽ:

Xét tứ giác AEHF có 

\(\widehat{AEH}+\widehat{AFH}=180^0\)

Do đó: AEHF là tứ giác nội tiếp

hay A,E,H,F cùng thuộc 1 đường tròn

Xét ΔAHB vuông tại H có HM là đường cao ứng với cạnh huyền AB

nên \(AM\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HN là đường cao ứng với cạnh huyền AC

nên \(AN\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)

hay \(\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AN}{AB}\)

Xét ΔAMN và ΔACB có

\(\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AN}{AB}\)

\(\widehat{MAN}\) chung

Do đó: ΔAMN\(\sim\)ΔACB

Xét ΔAHC có

I là trung điểm của AH

N là trung điểm của AC

DO đó: IN là đường trung bình của ΔAHC

Suy ra: \(IH=3cm\)

Xét ΔABC có 

M là trung điểm của AB

N là trung điểm của AC

Do đó: MN là đường trung bình của ΔABC

Suy ra: MN//BE và MN=BE

hay MNEB là hình bình hành