Xét Δ OCB và Δ OAD có

⇒ Δ OCB ∼ Δ OAD ( c - g - c )

Xét tam giác ODB và tam giác OAC có: OD = OA

                                                          góc AOC = góc BOD (=90^o)

                                                          OB = OC

=> tam giác ODB = tam giác OAC (c.g.c)=> AC = BD (2 cạnh t,ư )

b/Ta có góc DOC + COB = zOx = 90^o

                  AOB + BOC = tOy = 90^o

=> góc DOC = AOB mà OD =OA, OC = OB 

=> tam giác ODC = OAB (c.g.c) => DC = AB            (1)

Dễ có tam giác DCB =  ABC (Vì BC chung, DC=AB,DB =AC )

=> góc CDB = CAB (2 góc t.ư)                       (2)

Dễ có tam giác CDA = BAD (vì AD chung, CD = AB, DB =AC  ) => góc DCA = góc DBA (2 góc t.ư)           (3)

Từ (1)(2)(3) => tam giác IDC =IAB (g.c.g)

=> ID = IA, IC = IB (cặp canh tương ứng )

Dễ có tam giác OIC = OIB (c.c.c)

=> góc COI = góc BOI (2 góc t.ư)

=> tia OI là phân giác của góc xOy

Xét ΔNOM có AQ//OM

nên \(\dfrac{NQ}{OQ}=\dfrac{NA}{AM}\)

=>\(\dfrac{NQ+QO}{OQ}=\dfrac{NA+AM}{AM}\)

=>\(\dfrac{NO}{QO}=\dfrac{NM}{AM}\)

=>\(\dfrac{OQ}{ON}=\dfrac{AM}{NM}\)

Xét ΔMNO có AP//ON

nên \(\dfrac{MP}{PO}=\dfrac{MA}{AN}\)

=>\(\dfrac{MP+PO}{PO}=\dfrac{MA+AN}{AN}\)

=>\(\dfrac{MO}{OP}=\dfrac{MN}{AN}\)

=>\(\dfrac{OP}{OM}=\dfrac{AN}{MN}\)

\(\dfrac{OQ}{ON}+\dfrac{OP}{OM}=\dfrac{AN}{MN}+\dfrac{AM}{MN}=1\)

Hình các bạn tự vẽ nha thôg cảm dùm mình
Giải
Trên tia Ox lấy A" ; trên tia Oy lấy B' sao cho OA'=OB'=a
Ta có OA'+OB'= OA+OB =2a \Rightarrow AA'=BB'
Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A và B trên đường A'B'
ΔΔHAA'=ΔΔKBB'( cạnh huyền-Góc nhọn)
\Rightarrow HA'=KB',do đó HK=A'B'
Ta chứng minh đc HK<AB( dấu = \Leftrightarrow A trùng A',B trùng B'
do đó A'B'\leq AB.vậy AB nhỏ nhất \Leftrightarrow OA=OB=a

A,B trùng O

Phương pháp:

- Gọi D là hình chiếu của A lên BC.

Gọi N, D, M lần lượt là hình chiếu của F, A, E lên BC. H là trực tâm tam giác.