tôi lp 7

Ta có: \(\frac{HD}{AD}=\frac{S_{HDC}}{S_{ADC}}=\frac{S_{HDB}}{S_{ADB}}=\frac{S_{HDC}+S_{HDB}}{S_{ADC}+S_{ADB}}=\frac{S_{BHC}}{S_{ABC}}\)

Tương tự: \(\frac{HM}{BM}=\frac{S_{AHC}}{S_{ABC}};\frac{HN}{CN}=\frac{S_{AHB}}{S_{ABC}}\)

Từ đó suy ra \(\frac{HD}{AD}+\frac{HM}{BM}+\frac{HN}{CN}=\frac{S_{BHC}+S_{AHC}+S_{AHB}}{S_{ABC}}=\frac{S_{ABC}}{S_{ABC}}=1\)(1)

Dễ thấy các cặp tam giác: ∆ADB và ∆CNB, ∆ADC và BMC, ∆AMB và ∆ANC đồng dạng với nhau nên: \(\frac{DB}{DC}.\frac{MC}{MA}.\frac{NA}{NB}=\frac{DB}{ NB}.\frac{MC}{DC}.\frac{NA}{MA}=\frac{AB}{BC}.\frac{BC}{AC}.\frac{AC}{AB}=1\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{HD}{AD}+\frac{HM}{BM}+\frac{HN}{CN}=\frac{DB}{DC}.\frac{MC}{MA}.\frac{NA}{NB}\)(đpcm)

a: Xét tứ giác AHCJ có 

I là trung điểm của AC

I là trung điểm của HJ

Do đó: AHCJ là hình bình hành

Tham khảo:

+) Xét tam giác HBC ta có :

HD vuông góc với BC \( \Rightarrow \) HD là đường cao tam giác HBC

BF vuông góc với HC tại F ( kéo dài HC ) \( \Rightarrow \)BF là đường cao của tam giác HBC

CE vuông góc với HB tại E ( kéo dài HB ) \( \Rightarrow \)CE là đường cao của tam giác HBC

Ta kéo dài HD, BF, CE sẽ cắt nhau tại A

\( \Rightarrow \) A là trực tâm tam giác HBC

+) Xét tam giác HAB ta có :

HF vuông góc với AB \( \Rightarrow \) HF là đường cao tam giác HAB

BH vuông góc với AE tại E ( kéo dài HB ) \( \Rightarrow \)AE là đường cao của tam giác HAB

BD vuông góc với AH tại D ( kéo dài AH ) \( \Rightarrow \)BD là đường cao của tam giác HAB

Ta kéo dài HF, BD, AE sẽ cắt nhau tại C

\( \Rightarrow \) C là trực tâm tam giác HAB

+) Xét tam giác HAC ta có :

HE vuông góc với AC \( \Rightarrow \) HE là đường cao tam giác HAC

AF vuông góc với HC tại F ( kéo dài HC ) \( \Rightarrow \)AF là đường cao của tam giác HAC

CD vuông góc với AH tại D ( kéo dài AH ) \( \Rightarrow \)CD là đường cao của tam giác HAC

Ta kéo dài CD, HE, AF sẽ cắt nhau tại B

\( \Rightarrow \) B là trực tâm tam giác HAC.

Vì \(\widehat{AFH}=90^0\) (góc nt chắn nửa đg tròn) nên \(HF\perp AB\)

Lại có H là trực tâm tam giác ABC nên HF và HC là đường cao tam giác ABC \(\left(HF\perp AB\right)\)

Suy ra C,H,F thẳng hàng hay CF là đường cao tam giác ABC

\(\Delta AFC=\Delta AEB\left(ch-gn\right)\\ \Rightarrow AE=AF\\ \Rightarrow\widehat{AFE}=\widehat{ABC}\left(2\Delta.cân.chung.đỉnh.A\right)\)

Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị nên EF//BC

hinh nhu la de bai sai thi phai

Minh nham dung de roi sorry

Dinh ly : Trong mot tam giac bat ki thi khoang cach tu truc tam den dinh = 2 lan khoang cach tam duong tro ngoai tiep den canh doi dien.

Ap dung bo de vao bai nay goi giao 2 duong cheo hinh thoi la E thi :  \(\frac{AH}{OE}=2\)

Noi AO,Tu K ke KI,KJ vuong goc voi BH,HC. Ta phai chung minh I,J la trung diem cua BH,HC la xong

That vay : Do O la giao 3 duong trung truc tam giac ABC => AO=BO=OC (1)

Do BOCK la hinh thoi nen OK =2OE ma AH=2OE (theo bo de) => AH=OK

Xet tu giac AHKO co :\(\hept{\begin{cases}AH//OK\left(\perp BC\right)\\AH=OK\left(=2OE\right)\end{cases}\Rightarrow}\) AHKE la hinh binh hanh => HK=AO

Suy ra HK=BO=OC=BK=KC (Do (1) va BOCK la hinh thoi)

Suy ra HK=BK,HK=KC =>\(\Delta KHBva\Delta KHC\) can  tai K

Ma chung co cac duong cao la KI va KJ 

Suy ra I,J la trung diemBH,HC => DPCM

neu ban ko biet dinh ly nay thi nt mik mik chi cach c/m cho