Tìm a,b,c biết:
a) \(\frac{a-1}{2}\)=\(\frac{b-2}{3}\)=\(\frac{c-3}{4}\) và 3a+3b-c=50
b) 2a=3b; 5b=7c và 3a-7b+5c=45
Các bạn giải nhanh giúp mình với gấp qúa rùi! Nhớ ghi lại cách giải cho mình nhé! Cảm ơn mọi người
Cho a,b là các số dương. CMR:
\(\frac{2a^2+3b^2}{2a^3+3b^3}+\frac{2b^2+3a^2}{2b^3+3a^3}\le\frac{4}{a+b}\)
a,b là các số dương. CMR:
\(\frac{2a^2+3b^2}{2a^3+3b^3}+\frac{2b^2+3a^2}{2b^3+3a^3}\le\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(2a^2+3b^2\right)\left(a+b\right)}{2a^3+3b^3}+\frac{\left(2b^2+3a^2\right)\left(a+b\right)}{2b^3+3a^3}\le4\)
\(\Leftrightarrow\frac{2a^3+3b^3+2a^2b+3ab^2}{2a^3+3b^3}+\frac{2b^3+3a^3+2ab^2+3ab^2}{2b^3+3a^3}\le4\)
\(\Leftrightarrow\frac{2a^2b+3ab^2}{2a^3+3b^3}+\frac{2ab^2+3ab^2}{2b^3+3a^3}\le2\)
\(\Leftrightarrow\frac{2\left(\frac{a}{b}\right)^2+3\left(\frac{a}{b}\right)}{2\left(\frac{a}{b}\right)^3+3}+\frac{2\left(\frac{a}{b}\right)+3\left(\frac{a}{b}\right)^2}{3\left(\frac{a}{b}\right)^3+2}\le2\)
Đặt \(\frac{a}{b}=x>0\Rightarrow\frac{2x^2+3x}{2x^3+3}+\frac{3x^2+2x}{3x^3+2}\le2\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\left(12x^4+12x^3-x^2+12x+12\right)\ge0\) (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=1\) hay \(a=b\)
Hơi trâu bò :D
A, Cho 3 số a;b;c thỏa mãn \(\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{5}\)và 3a+2b-c khác 0 . Tính giá trị của biểu thức: \(B=\frac{a+7b-2c}{3a+2b-c}\)
B, Cho 3 số a;b;c thỏa mãn \(\frac{1}{2a-1}=\frac{2}{3b-1}=\frac{3}{4c-1}\)và 3a+2b-c=4 . Tìm các số a;b;c
a, Đặt \(\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{5}=k\)\(\Rightarrow a=2k\); \(b=3k\); \(c=5k\)
Ta có: \(B=\frac{a+7b-2c}{3a+2b-c}=\frac{2k+7.3k-2.5k}{3.2k+2.3k-5k}=\frac{2k+21k-10k}{6k+6k-5k}=\frac{13k}{7k}=\frac{13}{7}\)
b, Ta có: \(\frac{1}{2a-1}=\frac{2}{3b-1}=\frac{3}{4c-1}\)\(\Rightarrow\frac{2a-1}{1}=\frac{3b-1}{2}=\frac{4c-1}{3}\)
\(\Rightarrow\frac{2\left(a-\frac{1}{2}\right)}{1}=\frac{3\left(b-\frac{1}{3}\right)}{2}=\frac{4\left(c-\frac{1}{4}\right)}{3}\) \(\Rightarrow\frac{2\left(a-\frac{1}{2}\right)}{12}=\frac{3\left(b-\frac{1}{3}\right)}{2.12}=\frac{4\left(c-\frac{1}{4}\right)}{3.12}\)
\(\Rightarrow\frac{\left(a-\frac{1}{2}\right)}{6}=\frac{\left(b-\frac{1}{3}\right)}{8}=\frac{\left(c-\frac{1}{4}\right)}{9}\)\(\Rightarrow\frac{3\left(a-\frac{1}{2}\right)}{18}=\frac{2\left(b-\frac{1}{3}\right)}{16}=\frac{\left(c-\frac{1}{4}\right)}{9}\)
\(\Rightarrow\frac{3a-\frac{3}{2}}{18}=\frac{2b-\frac{2}{3}}{16}=\frac{c-\frac{1}{4}}{9}\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\frac{3a-\frac{3}{2}}{18}=\frac{2b-\frac{2}{3}}{16}=\frac{c-\frac{1}{4}}{9}=\frac{3a-\frac{3}{2}+2b-\frac{2}{3}-\left(c-\frac{1}{4}\right)}{18+16-9}=\frac{3a-\frac{3}{2}+2b-\frac{2}{3}-c+\frac{1}{4}}{25}\)
\(=\frac{\left(3a+2b-c\right)-\left(\frac{3}{2}+\frac{2}{3}-\frac{1}{4}\right)}{25}=\left(4-\frac{23}{12}\right)\div25=\frac{25}{12}\times\frac{1}{25}=\frac{1}{12}\)
Do đó: +) \(\frac{a-\frac{1}{2}}{6}=\frac{1}{12}\)\(\Rightarrow a-\frac{1}{2}=\frac{6}{12}\)\(\Rightarrow a=1\)
+) \(\frac{b-\frac{1}{3}}{8}=\frac{1}{12}\)\(\Rightarrow b-\frac{1}{3}=\frac{8}{12}\)\(\Rightarrow b=1\)
+) \(\frac{c-\frac{1}{4}}{9}=\frac{1}{12}\)\(\Rightarrow c-\frac{1}{4}=\frac{9}{12}\)\(\Rightarrow c=1\)
Tìm a,b,c biết
a) 2a=3b;5b=7c và 3a+5c-7b=30
b)\(\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}và\)\(a^2-b^2+2c^2=108\)
c)\(\frac{a}{3}=\frac{b+1}{4}=\frac{c+2}{5}và\)\(a-b+c=-17\)
CÁC BÀI NÀY ĐỀU GIẢI THEO TÍNH CHẤT DÃY TỈ SỐ BẮNG NHAU
a) ta có: 2a = 3b; 5b = 7c
\(\Rightarrow\frac{a}{3}=\frac{b}{2};\frac{b}{7}=\frac{c}{5}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{21}=\frac{b}{14}\left(1\right);\frac{b}{14}=\frac{c}{10}\left(2\right)\)
VẾ (1) nhân cả 2 số với\(\frac{1}{7}\); VẾ (2) nhân cả hai số với \(\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{21}=\frac{b}{14}=\frac{c}{10}\)
\(\Rightarrow\frac{3a}{63}=\frac{7b}{98}=\frac{5c}{50}\)
ÁP DỤNG T/C DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU, TA CÓ:
\(\frac{3a}{63}=\frac{7b}{98}=\frac{5c}{50}=\frac{3a+5c-7b}{63+50-98}=\frac{30}{15}=2\)
PHẦN SAU TỰ LÀM^-^
c) ÁP DỤNG T/C DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU TA CÓ:
\(\frac{a}{3}=\frac{b+1}{4}=\frac{c+2}{5}=\frac{a-b-1+c+2}{3-4+5}=\frac{a-b+c+1}{4}=\frac{-17}{4}\)
PHẦN SAU TỰ LÀM^-^
1 a) 2a=3b:5b=7c và 3a +5c-7b=30
b)\(\frac{x-1}{2}=\frac{x+3}{4}=\frac{z-5}{6}\)và 5z-3x-4y=50
c)3x=4y=6z và x-3y+2z=70
d)\(\frac{6}{11}x=\frac{9}{2}y=\frac{18}{5}z\)và x+y+z=20
2 cho \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)và a;b;c;d\(\ne\)0
a)\(\frac{a}{a-b}\frac{c}{d}\)
b)\(\frac{ac}{bd}=\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}\)
c)\(\frac{a}{3a+b}=\frac{c}{3c+d}\)
d)\(\frac{a^2-b^2}{c^2-d^2}=\frac{ab}{cd}\)
g)\(\frac{5a+3b}{5c+3b}=\frac{5a-3b}{5c-3d}\)
h)\(\frac{2a+3b}{2a-3d}=\frac{2c+3d}{2c-3d}\)
Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn: \(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}=6\). CMR:
a) \(\frac{1}{a+b+2c}+\frac{1}{b+c+2a}+\frac{1}{c+a+2b}\le3\)
b) \(\frac{1}{3a+3b+2c}+\frac{1}{3a+2b+3c}+\frac{1}{2a+3b+2c}\le\frac{3}{2}\)
Ta CM BĐT phụ sau: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
Ta có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{2}{\sqrt{ab}},a+b\ge2\sqrt{ab}\)( co si với a,b>0)
Suy ra \(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\left(a+b\right)\ge4\RightarrowĐPCM\)\(\Rightarrow\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\left(1\right)\)
a/Áp dụng (1) có
\(\frac{1}{a+b+2c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)\left(2\right)\).Tương tự ta cũng có:
\(\frac{1}{b+c+2a}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)\left(3\right),\frac{1}{c+a+2b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+b}\right)\left(4\right)\)
Cộng (2),(3) và (4) có \(VT\le\frac{1}{4}.\left(6+6\right)=3\left(ĐPCM\right)\)
b/Áp dụng (1) có:
\(\frac{1}{3a+3b+2c}=\frac{1}{\left(a+b+2c\right)+2\left(a+b\right)}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+b+2c}+\frac{1}{2\left(a+b\right)}\right)\left(5\right)\)
Tương tự có: \(\frac{1}{3a+2b+3c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+c+2b}+\frac{1}{2\left(a+c\right)}\right)\left(6\right)\)
\(\frac{1}{2a+3b+3c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{2\left(b+c\right)}\right)\left(7\right)\)
Cộng (5),(6) và (7) có:
\(VT\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+b+2c}+\frac{1}{a+c+2b}+\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\right)\right)\le\frac{1}{4}.9=\frac{3}{2}\)
Cho các số a,b,c thỏa mãn 0<a,b,c<1/2 và 2a+3b+4c=3
Tìm min P=\(\frac{2}{a\left(3b+4c-2\right)}+\frac{9}{b\left(4a+8c-3\right)}+\frac{8}{c\left(2a+3b-1\right)}\)
Để câu trả lời của bạn nhanh chóng được duyệt và hiển thị, hãy gửi câu trả lời đầy đủ và nên:
Yêu cầu, gợi ý các bạn khác chọn (k) đúng cho mìnhChỉ ghi đáp số mà không có lời giải, hoặc nội dung không liên quan đến câu hỏiĐể câu trả lời của bạn nhanh chóng được duyệt và hiển thị, hãy gửi câu trả lời đầy đủ và nên:
Yêu cầu, gợi ý các bạn khác chọn (k) đúng cho mìnhChỉ ghi đáp số mà không có lời giải, hoặc nội dung không liên quan đến câu hỏiTìm a,b,c biết 2a-1, 4-3b TLT với 2, 3 và 1-a, 1+c TLN với \(\frac{1}{3},\frac{1}{4}\)và a- 3b + 4c=5
1) \(\frac{1}{2a-1}\)= \(\frac{2}{3b-1}\)= \(\frac{3}{4c-1}\)và 3a + 2b - c = 4. Tìm a,b,c thõa mãn
\(\frac{1}{2a-1}=\frac{2}{3b-1}=\frac{3}{4c-1}=\frac{\frac{3}{2}}{3a-\frac{3}{2}}=\frac{2.\frac{2}{3}}{2b-\frac{2}{3}}=\frac{3.\frac{1}{4}}{c-\frac{1}{4}}=\)
\(\frac{\frac{3}{2}}{3a-\frac{3}{2}}=\frac{\frac{4}{3}}{2b-\frac{2}{3}}=\frac{\frac{3}{4}}{c-\frac{1}{4}}=\frac{\frac{3}{2}+\frac{4}{3}-\frac{3}{4}}{\left(3a+2b-c\right)-\left(\frac{3}{2}+\frac{2}{3}-\frac{1}{4}\right)}=\frac{\frac{25}{12}}{4-\frac{23}{12}}=\frac{\frac{25}{12}}{\frac{25}{12}}=1\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2a-1}=1\Rightarrow1=2a-1\Rightarrow a=1\)
Tương tự với b và c
Cho a, b là các số dương. CMR: \(\frac{2a^2+3b^2}{2a^3+3b^3}+\frac{2b^2+3a^2}{2b^3+3a^3}\le\frac{4}{a+b}\)
Ta có: \(\frac{2a^2+3b^2}{2a^3+3b^3}\left(a+b\right)=1+ab\frac{2a+3b}{2a^3+3b^3}\)
Áp dụng BĐT Holder ta có:
\(\left(2a^3+3b^3\right)\left(2+3\right)^2\ge\left(2a+3b\right)^3\)
Vậy ta có thể viết lại BĐT cần chứng minh như sau;
\(VT\left(a+b\right)\le2+25ab\left(\frac{1}{\left(2a+3b\right)^2}+\frac{1}{\left(2b+3a\right)^2}\right)\)
Nó đủ để ta có thể thấy rằng
\(25ab\left[\left(2b+3a\right)^2+\left(2a+3b\right)^2\right]\le2\left(2a+3b\right)^2\left(2b+3a\right)^2\)
\(\Leftrightarrow59\left(a^2-b^2\right)^2+13\left(a^4+b^4-a^3b-ab^3\right)\ge0\)
BĐT cuối cùng đúng nên ta có ĐPCM
Đặt \(\frac{a}{b}=t\)do a>0, b>0 nên t>0
Khi đó BĐT \(\frac{2a^2+3b^2}{2a^3+3b^3}+\frac{2b^2}{3b^3}+\frac{2b^2+3a^2}{2b^3+3a^2}\le\frac{4}{a+b}\left(1\right)\)trở thành
\(\frac{2t^2+3}{2t^3+3}+\frac{2+3t^2}{3+3t^3}\le\frac{4}{t+1}\)
\(\Leftrightarrow\left(2t^2+3\right)\left(2+3t^2\right)\left(t+1\right)+\left(2+3t^2\right)\left(2t^2+1\right)\left(t+1\right)\le4\left(2t^3+3\right)\left(2+3t^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(t+1\right)\left(12t^5+13t^3+13t^2+12\right)\le4\left(6t^6+13t^3+6\right)\)
\(\Leftrightarrow12\left(t^6-t^5-t+1\right)-13t^2\left(t^2-12t+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow12\left(t-1\right)^2\left[12\left(t^4+t^3+t^2+t+1\right)-13t^2\right]\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(t-1\right)^2\left[12\left(t^4+t^3+t^2+t+1\right)-13t^2\right]\ge0\left(2\right)\)
Ta có \(12\left(t^4+t^3+t^2+t+1\right)-13t^2=12t^4+12t\left(t-1\right)^2+23t^2+12>0\forall t>0\)
BĐT (2) đúng với mọi t>0
=> BĐT (1) đúng với mọi a,b>0
Dấu "=" xảy ra <=> t=1 <=> a=b