Tính tổng n số hạng đầu của mỗi cấp số nhân sau:
a) 3; – 6; 12; – 24; ... với n = 12;
b) \(\frac{1}{{10}},\frac{1}{{100}},\frac{1}{{1\,\,000}},...\) với n = 5.
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) với số hạng đầu \({u_1} = a\) và công bội \(q \ne 1\)
Để tính tổng của n số hạng đầu\({S_n} = {u_1} + {u_2} + \ldots + {u_{n - 1}} + {u_n}\)
Thực hiện lần lượt các yêu cầu sau:
a) Biểu diễn mỗi số hạng trong tổng trên theo \({u_1}\) và q để được biểu thức tính tổng \({S_n}\) chỉ chứa \({u_1}\) và q.
b) Từ kết quả phần a, nhân cả hai vế với q để được biểu thức tính tích \(q.{S_n}\) chỉ chứa \({u_1}\) và \(q\).
c) Trừ từng vế hai đẳng thức nhận được ở cả a và b và giản ước các số hạng đồng dạng để tính \(\left( {1 - q} \right){S_n}\) theo \({u_1}\)và \(q\). Từ đó suy ra công thức tính \({S_n}\).
a) \({u_2} = {u_1}.q\)
\({u_3} = {u_1}.{q^2}\)
…
\({u_{n - 1}} = {u_1}.{q^{n - 2}}\)
\({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}}\)
\({S_n} = {u_1} + {u_1}q + \ldots + {u_1}{q^{n - 2}} + {u_1}{q^{n - 1}}\)
b) \(q{S_n} = q{u_1} + {u_1}{q^2} + \ldots + {u_1}{q^{n - 1}} + {u_1}{q^n}\)
c) \({S_n} - q{S_n} = \left( {{u_1} + {u_1}q + \ldots + {u_1}{q^{n - 2}} + {u_1}{q^{n - 1}}} \right) - (q{u_1} + {u_1}{q^2} + \ldots + {u_1}{q^{n - 1}} + {u_1}{q^n})\).
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {1 - q} \right){S_n} = {u_1} - {u_1}{q^n} = {u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)\\ \Rightarrow {S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}\end{array}\)
Tính tổng n số hạng đầu của mỗi cấp số cộng sau:
a) 3; 1; – 1; ... với n = 10;
b) 1,2; 1,7; 2,2; ... với n = 15.
a) Ta có: 3; 1; – 1; ... là cấp số cộng với số hạng đầu u1 = 3 và công sai d = 1 – 3 = – 2.
Khi đó u10 = 3 + (10 – 1).(– 2) = 3 + (– 18) = – 15.
Tổng của 10 số hạng đầu của cấp số cộng là:
S15 = \(\frac{{10\left[ {3 + \left( { - 15} \right)} \right]}}{2} = - 60\).
b) 1,2; 1,7; 2,2; ... với n = 15.
Ta có: 1,2; 1,7; 2,2; ... là cấp số cộng với số hạng ban đầu u1 = 1,2 và công sai d = 1,7 – 1,2 = 0,5.
Khi đó u15 = 1,2 + (15 – 1).0,5 = 8,2.
Tổng của 15 số hạng đầu của cấp số cộng là:
S15 = \(\frac{{15\left[ {1,2 + 8,2} \right]}}{2} = 70,5\).
Tính tổng \(n\) số hạng đầu tiên của cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) trong các trường hợp sau:
a) \({u_1} = {10^5};q = 0,1;n = 5\);
b) \({u_1} = 10;{u_2} = - 20;n = 5\).
a) \({S_5} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^5}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{{{10}^5}\left( {1 - {{\left( {0,1} \right)}^5}} \right)}}{{1 - 0,1}} = 111110\).
b) Ta có: \({u_2} = {u_1}.q \Leftrightarrow - 20 = 10.q \Leftrightarrow q = - 2\)
\({S_5} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^5}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{10\left( {1 - {{\left( { - 2} \right)}^5}} \right)}}{{1 - \left( { - 2} \right)}} = 110\).
Cho một cấp số nhân có n số hạng. Số hạng đầu tiên là 1, công bội là q và tổng là S. Trong đó q và S đều khác 0. Tổng các số hạng của cấp số nhân mới được thành bằng cách thay đổi mỗi số hạng của cấp số nhân ban đầu bằng nghịch đảo của nó là:
A. 1 S .
B. 1 q n . S .
C. S q n − 1 .
D. q n S .
Đáp án C
Em có: S = 1. q n − 1 q − 1 = q n − 1 q − 1 .
Vì cấp số nhân mới tạo thành bằng cách thay đổi mỗi số hạng của cấp số nhân ban đầu thành nghịch đảo của nó nên cấp số nhân mới sẽ có công bội là 1 q .
Gọi S' là tổng mới của cấp số nhân mới.
Em có: S ' = 1 q n − 1 1 q − 1 = 1 − q n q n . 1 − q q = 1 − q n 1 − q . 1 q n − 1 = S q n − 1 .
Vậy tổng của cấp số nhân mới là: S q n − 1 .
Bài toán yêu cầu bạn tính tổng của một cấp số nhân có công bội là 3 và số hạng đầu tiên là 3. Công thức tính tổng của một cấp số nhân là:
$$S_n = \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$$
Trong đó, $a_1$ là số hạng đầu tiên, $q$ là công bội, và $n$ là số hạng. Áp dụng công thức này vào bài toán của bạn, ta có:
$$A = 3^1 + 3^2 + 3^3 + ....... + 3^50 = \frac{3(1-3^{50})}{1-3}$$
Để tính giá trị của A, bạn có thể sử dụng máy tính hoặc các trang web chuyên về toán học. Mình đã tìm thấy một trang web có thể giải quyết bài toán này cho bạn. Theo trang web đó, kết quả của A là:
$$A \approx 7.178979876e23$$
Đây là một số rất lớn, gần bằng 718 nghìn tỷ tỷ tỷ. Hy vọng bạn đã hiểu cách giải bài toán này. Nếu bạn có thắc mắc gì khác, xin vui lòng liên hệ với mình. Mình rất vui khi được giúp đỡ bạn
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với số hạng đầu \({u_1}\) và công sai d
Để tính tổng của n số hạng đầu
\({S_n} = {u_1} + {u_2} + \ldots + {u_{n - 1}} + {u_n}\)
Hãy lần lượt thực hiện các yêu cầu sau:
a) Biểu diễn mỗi số hạng trong tổng \({S_n}\) theo số hạng đầu \({u_n}\) và công sai d
b) Viết \({S_n}\) theo thứ tự ngược lại: \({S_n} = {u_n} + {u_{n - 1}} + \ldots + {u_2} + {u_1}\) và sử dụng kết quả ở phần a) để biểu diễn mỗi số hạng trong tổng này theo \({u_1}\) và d
c) Cộng từng vế hai đẳng thức nhận được ở a), b) để tính \({S_n}\)theo \({u_1}\) và d
a) \({u_2} = {u_1} + d\)
\({u_3} = {u_1} + 2d\)
…
\({u_{n - 1}} = {u_1} + \left( {n - 2} \right)d\)
\({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\)
\({S_n} = {u_1} + {u_1} + 2d + \ldots + {u_1} + \left( {n - 2} \right)d + {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\)
b) \({S_n} = {u_n} + {u_{n - 1}} + \ldots + {u_2} + {u_1} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d + {u_1} + \left( {n - 2} \right)d + \ldots + {u_1} + d + {u_1}\)
c) \(2{S_n} = \left( {{u_1} + {u_1} + d + \ldots + {u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right) + \left( {{u_1} + \left( {n - 1} \right)d + {u_1} + \left( {n - 2} \right)d + \ldots + {u_1}} \right)\).
\( \Rightarrow 2{S_n} = n.\left( {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right)\)
\( \Rightarrow {S_n} = \frac{n}{2}\left( {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right)\)
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = 3;{u_3} = \frac{{27}}{4}\)
a) Tìm công bội q và viết năm số hạng đầu của cấp số nhân trên
b) Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số nhân trên
a) Ta có: \({u_3} = {u_1}.{q^2} \Leftrightarrow \left( {\frac{{27}}{4}} \right) = 3.{q^2} \Leftrightarrow q = \frac{3}{2}\)
Năm số hạng đầu của cấp số nhân: \(3;\frac{9}{2};\frac{{27}}{4};\frac{{81}}{8};\frac{{243}}{{16}}\)
b) Tổng 10 số hạng đầu:
\({S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{3\left( {1 - {{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^{10}}} \right)}}{{1 - \frac{3}{2}}} = \frac{{3.\frac{{ - 58025}}{{1024}}}}{{1 - \frac{3}{2}}} = \frac{{ - 174075}}{{1024}}.\left( { - 2} \right) = \frac{{174075}}{{512}}\)
Xác định công bội, số hạng thứ 5, số hạng tổng quát và số hạng thứ 100 của mỗi cấp số nhân sau:
a) 1, 4, 16, …;
b) \(2, - \frac{1}{2},\frac{1}{8},\; \ldots \)
a) Cấp số nhân có \({u_1} = 1,\;\;q = \;4\)
Số hạng tổng quát: \({u_n} = {4^{n - 1}}\)
Số hạng thứ 5: \({u_5} = {4^{5 - 1}} = 256\)
Số hạng thứ 100: \({u_{100}} = {4^{100 - 1}} = {4^{99}}\).
b) Cấp số nhân có \({u_1} = 2,\;q = - \frac{1}{4}\)
Số hạng tổng quát: \({u_n} = 2 \times {\left( { - \frac{1}{4}} \right)^{n - 1}}\)
Số hạng thứ 5: \({u_5} = 2 \times {\left( { - \frac{1}{4}} \right)^{5 - 1}} = \frac{1}{{128}}\)
Số hạng thứ 100: \({u_{100}} = 2 \times {\left( { - \frac{1}{4}} \right)^{100 - 1}} = \frac{ -1}{{2^{197}}}\)
Viết công thức số hạng tổng quát \({u_n}\) theo số hạng đầu \({u_1}\) và công bội \(q\) của các cấp số nhân sau:
a) \(5;10;20;40;80;...\)
b) \(1;\frac{1}{{10}};\frac{1}{{100}};\frac{1}{{1000}};\frac{1}{{10000}};...\)
a) Cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = 5\) và công bội \(q = 2\).
Vậy ta có: \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} = {5.2^{n - 1}}\)
b) Cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = 1\) và công bội \(q = \frac{1}{{10}}\).
Vậy ta có: \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} = 1.{\left( {\frac{1}{{10}}} \right)^{n - 1}} = \frac{1}{{{{10}^{n - 1}}}}\).