Đáp án A

Gọi I là tâm của hình vuông thì I chính là hình chiếu của C lên BD

Ta có: I ( -1+4t;1-t;-1+t )nên  C I → = 4 t - 2 ; 2 - t ; t + 1

Vì C I ⊥ B D nên 

C I ⇀ . u B D → = 0 ⇔ 4 4 t - 2 - 2 - t + t + 1 = 0 ⇔ t = 1 2

Do đó:  I 1 ; 1 2 ; - 1 2 , C I - 3 2 2

I là trung điểm AC ⇒ A ( 1;2;3 )

Tọa độ điểm B - 1 + 4 t ; 1 - t ; - 1 + t  với  t > 1 4

Ta có IB = IC nên

- 2 + 4 t 2 + 1 2 - t 2 + 1 2 + t 2 = 9 2 ⇔ t 2 - t = 0 ⇔ t = 0 t = 1

Tọa độ điểm B ( 3;0;0 ). Suy ra d ( -1;1;-1 )

Đáp án D

Ta có \(\overrightarrow{AB}\left(4;7\right)\) và \(\left|\overrightarrow{AB}\right|=AB=\sqrt{65}\)

Giả sử tìm được D(x;y), suy ra \(\overrightarrow{AD}=\left(x-1;y+3\right)\)

Do DA=AB và \(DA\perp AB\) nên 

\(\begin{cases}4\left(x-1\right)+7\left(y+3\right)=0\\\left(x-1\right)^2+\left(y+3\right)^2=65\end{cases}\)

Giải hệ thu được \(\left(x;y\right)=\left(-6;1\right),\left(8;-7\right)\)

Vậy với D(-6;1) ta thu được C(-2;8);

Với D(8;-7) ta thu được C(12;0)

Đặt \(d:2x+y-3=0\)

Thấy \(A\notin d\)

\(\Rightarrow\) Đường chéo đó là BD và có pt BD:2x+y-3=0

Gọi \(H=AC\cap BD\)

\(\Rightarrow AH\perp BD\) và H là trung điểm của AC

Có \(AH\left\{{}\begin{matrix}quaA\left(-1;0\right)\\\perp BD\Rightarrow vtpt\overrightarrow{n}\left(-1;2\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow AH:-x+2y-1=0\)

Tọa độ của H là nghiệm của hệ pt:\(\left\{{}\begin{matrix}2x+y-3=0\\-x+2y-1=0\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow H\left(1;1\right)\)

Có H là tđ của AC

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_C=2x_H-x_A=3\\y_C=2y_H-y_A=2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow C\left(3;2\right)\)

Đáp án: B

A(2;1), C(4;3) ⇒ 

Gọi I là trung điểm của của AC ⇒ I(3;2)

Đường chéo BD là đường thẳng đi qua I và có vecto pháp tuyến là 

BD: 2(x - 3) + 2(y - 2) = 0 ⇔ x + y - 5 = 0

Thay tọa độ các điểm vào đường thẳng BD ta thấy tọa độ điểm ở đáp án B thỏa mãn phương trình đường thẳng BD.

Chọn D.

Giả sử tọa độ điểm C là (x; y) ; 

 và 

Ta có :

Tứ giác ABCD hình vuông nên 

Giải hệ phương trình trên ta được x = 4; y = -2 hoặc x = 2; y = 2

Từ đó suy ra có 2 điểm C thỏa mãn là C(4; -2) hoặc C( 2; 2)