\(y'=8x^3-8x\)

a. Đường thẳng \(x-48y+1=0\) có hệ số góc \(\dfrac{1}{48}\) nên tiếp tuyến có hệ số góc \(k=-48\)

\(\Rightarrow8x^3-8x=-48\Rightarrow x^3-x+6=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+2\right)\left(x^2-2x+3\right)=0\Rightarrow x=-2\)

\(y'\left(-2\right)=47\)

Phương trình tiếp tuyến: \(y=-48\left(x+2\right)+47\)

b. Gọi tiếp điểm có hoành độ \(x_0\) 

Phương trình tiếp tuyến: \(y=\left(8x_0^3-8x_0\right)\left(x-x_0\right)+2x^4_0-4x^2_0-1\) (1)

Do tiếp tuyến qua A:

\(\Rightarrow-3=\left(8x_0^3-8x_0\right)\left(1-x_0\right)+2x_0^4-4x^2_0-1\)

\(\Leftrightarrow3x_0^4-4x_0^3-2x_0^2+4x_0-1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x_0-1\right)^2\left(3x_0^2+2x_0-1\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x_0=1\\x_0=-1\\x_0=\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)

Có 3 tiếp tuyến thỏa mãn. Thay lần lượt các giá trị \(x_0\) bên trên vào (1) là được

Hàm số xác định với mọi \(x\ne1\). Ta có : \(y'=\frac{-4}{\left(x-1\right)^2}\)

Gọi \(M\left(x_0;y_0\right);\left(x_0\ne1\right)\) là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của (C) :

\(\Delta:y=\frac{-4}{\left(x_0-1\right)^2}\left(x-x_0\right)+\frac{2x_0+2}{x_0-1}\)

a) Vì tiếp tuyến có hệ số góc bằng -4 nên ta có :

\(\frac{4}{\left(x_0-1\right)^2}=-16\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x_0=\frac{3}{2}\\x_0=\frac{1}{2}\end{array}\right.\)

* \(x_0=\frac{3}{2}\Rightarrow y_0=10\Rightarrow\Delta=-16\left(x-\frac{3}{2}\right)+10\) hay \(y=-16x+22\)

* \(x_0=\frac{1}{2}\Rightarrow y_0=-6\Rightarrow\Delta=-16\left(x-\frac{1}{2}\right)-6\) hay \(y=-16x+2\)

1.

Tạo với Ox là tạo với tia Ox hay trục hoành nhỉ? 2 cái này khác nhau đấy. Tạo với tia Ox thì chỉ có 1 góc 60 độ theo chiều dương, tạo với trục hoành thì có 2 góc 60 và 120 đều thỏa mãn. Coi như tạo tia Ox đi

Đường tròn tâm \(I\left(-2;-2\right)\) bán kính \(R=5\)

\(tan60^0=\sqrt{3}\Rightarrow\) tiếp tuyến có hệ số góc bằng \(\sqrt{3}\Rightarrow\) pt có dạng:

\(y=\sqrt{3}x+b\Leftrightarrow\sqrt{3}x-y+b=0\)

\(d\left(I;d\right)=R\Leftrightarrow\dfrac{\left|-2\sqrt{3}+2+b\right|}{\sqrt{3+1}}=5\)

\(\Leftrightarrow\left|b+2-2\sqrt{3}\right|=10\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}b=8+2\sqrt{3}\\b=-12+2\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)

Có 2 tiếp tuyến: \(\left[{}\begin{matrix}\sqrt{3}x-y+8+2\sqrt{3}=0\\\sqrt{3}x-y-12+2\sqrt{3}=0\end{matrix}\right.\)

2.

(C1) có tâm \(I\left(1;1\right)\) bán kính \(R_1=\sqrt{2}\)

(C2) có tâm \(J\left(2;3\right)\) bán kính \(R_2=4\)

Gọi tiếp tuyến chung d có pt: \(ax+by+c=0\)

\(\left\{{}\begin{matrix}d\left(I;d\right)=R_1\\d\left(J;d\right)=R_2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{\left|a+b+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\sqrt{2}\\\dfrac{\left|2a+3b+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}=4\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow2\sqrt{2}\left|a+b+c\right|=\left|2a+3b+c\right|\)

? Đề nghiêm túc đấy chứ? Cho kiểu này thì sấp mặt, tối thiểu pt (C1) cũng có dạng \(x^2+y^2-2x-2y+1=0\) để học sinh còn thở chứ.

Ủa, nhìn lại thì bài 2 người ta cho đề kiểu hack não.

\(\overrightarrow{IJ}=\left(1;2\right)\Rightarrow IJ=\sqrt{5}< R_2-R_1=4-\sqrt{2}\)

Do đó \(\left(C_2\right)\) chứa \(\left(C_1\right)\) nên ko tồn tại tiếp tuyến chung của 2 đường tròn

Ta có \(y'=-4x^3-2x\)

a) Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(d:y=\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}\)

Suy ra \(y'\left(x_0\right)=-6\Leftrightarrow2x_0^3+x_0^2-3=0\Leftrightarrow x_0=1\Rightarrow y_0=-3\)

Phương trình tiếp tuyến là \(y=-6x+3\)

b) Vì tuyến tuyến song song với đường thẳng \(y=6x+2\) nên ta có :

\(y'\left(x_0\right)=6\Leftrightarrow2x_0^3+x_0^2+3=0\Leftrightarrow\left(x_0+1\right)\left(2x_0^2-2x_0+3\right)=0\Rightarrow x_0=-1\Rightarrow y_0=-3\)

Nên ta có phương trình tiếp tuyến là :

                     \(y=6\left(x+1\right)-3=6x+3\)

- Hàm số đã cho xác định với ∀x ≠ 1.

- Ta có: 

- Gọi M ( x 0 ;   y 0 )  là tọa độ tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của (C):

- Tiếp tuyến tạo với 2 trục tọa độ lập thành một tam giác cân nên hệ số góc của tiếp tuyến bằng ± 1. Mặt khác: y ' ( x 0 )   <   0 , nên có: y ' ( x 0 )   =   - 1 .

- Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa mãn đề bài: y = -x - 1; y = -x + 7.

Chọn D

a, Phương trình tiếp tuyến đi qua M: \(ax+by-3a+b=0\left(\Delta\right)\)

Đường tròn đã cho có tâm \(I=\left(1;-2\right)\) bán kính \(R=\sqrt{5}\)

Ta có: \(d\left(I;\Delta\right)=\dfrac{\left|a-2b-3a+b\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\sqrt{5}\)

\(\Leftrightarrow\left(2a+b\right)^2=5\left(a^2+b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a-2b\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow a=2b\)

\(\Rightarrow\Delta:2x+y-5=0\)

b, Phương trình tiếp tuyến: \(\left(d\right)2x-y+m=0\left(m\in R\right)\)

Ta có: \(d\left(I;d\right)=\dfrac{\left|2.1-1.\left(-2\right)+m\right|}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}\)

\(\Leftrightarrow\left|m+4\right|=5\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=-9\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}d:2x-y+1=0\\d:2x-y-9=0\end{matrix}\right.\)

Lời giải:

Gọi PTTT đi qua $K(3;6)$ nên có dạng $(d):a(x-3)+b(y-6)=0(*)$ với $a^2+b^2\neq 0$
Gọi $I(1,2)$ là tâm đường tròn và $M$ là tiếp điểm của đường tiếp tuyến với đường tròn.

Ta có:

$IM=R=d(I,d)$

$\Leftrightarrow 3=\frac{|-2a-4b|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

$\Rightarrow 5a^2-7b^2-16ab=0$

$\Rightarrow a=\frac{8+3\sqrt{11}}{5}b$ hoặc $a=\frac{8-3\sqrt{11}}{5}b$

Thay vô $(*)$ rồi rút gọn thì:

PTTT là:

$\frac{8+3\sqrt{11}}{5}x+y-\frac{54+9\sqrt{11}}{5}=0$

hoặc $\frac{8-3\sqrt{11}}{5}x+y-\frac{54-9\sqrt{11}}{5}=0$