Lời giải:
Ta có:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\)

\(\Leftrightarrow \frac{a+b}{ab}=\frac{1}{a+b+c}-\frac{1}{c}=\frac{-(a+b)}{c(a+b+c)}\)

\(\Leftrightarrow (a+b)\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{c(a+b+c)}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow (a+b).\frac{ab+c(a+b+c)}{abc(a+b+c)}=0\)

\(\Leftrightarrow (a+b).\frac{(c+a)(c+b)}{abc(a+b+c)}=0\)

\(\Leftrightarrow (a+b)(b+c)(c+a)=0\)

Ta sẽ cm \(\frac{1}{a^{2n+1}}+\frac{1}{b^{2n+1}}+\frac{1}{c^{2n+1}}=\frac{1}{a^{2n+1}+b^{2n+1}+c^{2n+1}}(*)\)

Thật vậy: \((*)\Leftrightarrow \frac{a^{2n+1}+b^{2n+1}}{(ab)^{2n+1}}=\frac{1}{a^{2n+1}+b^{2n+1}+c^{2n+1}}-\frac{1}{c^{2n+1}}\)

\(\Leftrightarrow \frac{a^{2n+1}+b^{2n+1}}{(ab)^{2n+1}}=\frac{-(a^{2n+1}+b^{2n+1})}{c^{2n+1}(a^{2n+1}+b^{2n+1}+c^{2n+1})}\)

\(\Leftrightarrow (a^{2n+1}+b^{2n+1})\left(\frac{1}{(ab)^{2n+1)}}+\frac{1}{c^{2n+1}(a^{2n+1}+b^{2n+1}+c^{2n+1})}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow (a^{2n+1}+b^{2n+1}).\frac{c^{2n+1}(a^{2n+1}+b^{2n+1}+c^{2n+1})+(ab)^{2n+1}}{(abc)^{2n+1}(a^{2n+1}+b^{2n+1}+c^{2n+1})}=0\)

\(\Leftrightarrow \frac{(a^{2n+1}+b^{2n+1})(c^{2n+1}+b^{2n+1})(c^{2n+1}+a^{2n+1})}{abc^{2n+1}(a^{2n+1}+b^{2n+1}+c^{2n+1})}=0\)

Thấy rằng

\((a^{2n+1}+b^{2n+1})(b^{2n+1}+c^{2n+1})(c^{2n+1}+a^{2n+1})=(a+b).X.(b+c).Y.(c+a).Z\)

\(=0\) (do \((a+b)(b+c)(c+a)=0\) )

Do đó đẳng thức $(*)$ cần chứng minh đúng.

-------------------

Ta tiếp tục chứng minh \(\frac{1}{a^{2n+1}+b^{2n+1}+c^{2n+1}}=\frac{1}{(a+b+c)^{2n+1}}(**)\)

\(\Leftrightarrow a^{2n+1}+b^{2n+1}+c^{2n+1}=(a+b+c)^{2n+1}\)

Thật vậy:

\((a+b)(b+c)(c+a)=0\)\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} a+b=0\\ b+c=0\\ c+a=0\end{matrix}\right.\)

Không mất tổng quát giả sử \(a+b=0\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^{2n+1}+b^{2n+1}+c^{2n+1}=(-b)^{2n+1}+b^{2n+1}+c^{2n+1}=c^{2n+1}\\ (a+b+c)^{2n+1}=(0+c)^{2n+1}=c^{2n+1}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a^{2n+1}+b^{2n+1}+c^{2n+1}=(a+b+c)^{2n+1}\)

Do đó $(**)$ đúng

Từ $(*)$ và $(**)$ ta có đpcm.

Ta có:

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{a+b+c}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=-b\\b=-c\\c=-a\end{matrix}\right.\)

Xét \(a=-b\) thì ta có

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{a^{2n+1}}+\dfrac{1}{b^{2n+1}}+\dfrac{1}{c^{2n+1}}=\dfrac{1}{c^{2n+1}}\\\dfrac{1}{a^{2n+1}+b^{2n+1}+c^{2n+1}}=\dfrac{1}{c^{2n+1}}\\\dfrac{1}{\left(a+b+c\right)^{2n+1}}=\dfrac{1}{c^{2n+1}}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{a^{2n+1}}+\dfrac{1}{b^{2n+1}}+\dfrac{1}{c^{2n+1}}=\dfrac{1}{a^{2n+1}+b^{2n+1}+c^{2n+1}}=\dfrac{1}{\left(a+b+c\right)^{2n+1}}\)

Tương tự cho 2 bộ số còn lại ta được ĐPCM.

Muốn viết tất cả các số tự nhiên từ 100 đến 999 phải dùng hết bao nhiên chữ số 5?
giải
ta có 100 chia hết cho 5 
và số lớn nhất chia hết cho 5 trong dãy số này là:
995
vì cứ mỗi số chia hết cho 5 thì cách 5 đơn vị thì lại là một số chia hết cho 5
nên
từ 100-995 có số chữ số 5 là:
(995-100):5+1=180(số)
đáp số:180 số
đúng thì thanks mình nhé!

Chọn C

2.a)n^5+1⋮n^3+1

⇒n^2.(n^3+1)-n^2+1⋮n^3+1

⇒1⋮n^3+1

⇒n^3+1ϵƯ(1)={1}

ta có :n^3+1=1

n^3=0

n=0

Vậy n=0

b)n^5+1⋮n^3+1

Vẫn làm y như bài trên nhưng vì nϵZ⇒n=0

Bữa sau giải bài 3 mình buồn ngủ quá!!!!!!!!

Câu a hình như sai đề

b. n^2(n-1) - 2n(n-1) = (n^2-2n)*(n-1) = n(n-2)(n-1)

Nhận thấy n,n-1,n-2 là 3 số tn liên tiếp -> có 1 số chia hết cho 2 và 1 số chia hết cho 3 mà (2,3) = 1 -> chia hết cho 2*3 = 6