Đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

\(\dfrac{2a+b+c}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}=\dfrac{3}{a+b+c}\)

\(\Leftrightarrow\left(2a+b+c\right)\left(a+b+c\right)=3\left(a^2+ab+bc+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow2a^2+b^2+c^2+3ab+3ac+2bc=3a^2+3ab+3bc+3ca\)

\(\Leftrightarrow a^2=b^2+c^2-bc\).

Đây chính là định lý hàm cos cho tam giác ABC có \(\widehat{A}=60^o\).

(Phần chứng minh bạn có thể xem ở Cho tam giác ABC có Â=60 độ. Chứng minh rằng BC^2=AB^2 AC^2-AB.BC - Hoc24)

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có:

 \(\dfrac{a}{{\sin A}} = \dfrac{b}{{\sin B}} = \dfrac{c}{{\sin C}} = 2R\)

\( \Rightarrow R = \dfrac{a}{{2\sin A}};\;\;b = \dfrac{{a.\sin B}}{{\sin A}}\)

Mà \(a = 10,\widehat A = {45^o},\widehat B = {70^o}\)

\( \Rightarrow R = \dfrac{{10}}{{2\sin {{45}^o}}} = 5\sqrt 2 ;\;\;b = \dfrac{{a.\sin {{70}^o}}}{{\sin {{45}^o}}} \approx 13,29\)

Mặt khác: \(\widehat A = {45^o},\widehat B = {70^o} \Rightarrow \widehat C = {65^o}\)

Từ định lí sin ta suy ra: \(c = \dfrac{{a.\sin C}}{{\sin A}} = \dfrac{{10.\sin {{65}^o}}}{{\sin {{45}^o}}} \approx 12,82.\)

Vậy \(R = 5\sqrt 2 ;\;\;b \approx 13,29\); \(c \approx 12,82.\)

Theo định lí sin: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\quad (*)\)

+) Ta có: \(\hat A = {180^o} - \left( {\hat B + \;\hat C} \right) = {180^o} - \left( {{{60}^o} + {{45}^o}} \right) = {75^o}\)

\( \Rightarrow a = \frac{b}{{\sin B}}.\sin A = \frac{{10}}{{\sin {{60}^o}}}.\sin {75^o} \approx 11,154\)

+) \((*) \Rightarrow R = \frac{b}{{2\sin B}} = \frac{{10}}{{2\sin {{60}^o}}} = \frac{{10}}{{2.\frac{{\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{10\sqrt 3 }}{3}.\)

+) Diện tích tam giác ABC là: \(S = \frac{1}{2}ab.\sin {\mkern 1mu} \hat C\) \( \approx \frac{1}{2}.11,154.10.\sin {45^o}\)\( \approx 39,44\)

+) Lại có: \(R = \frac{c}{{2\sin C}}\)\( \Rightarrow c = 2.\frac{{10\sqrt 3 }}{3}.\sin {45^o} = \frac{{10\sqrt 6 }}{3} \approx 8,165\)

\( \Rightarrow p = \frac{{a + b + c}}{2} \approx \frac{{11,154 + 10 + 8,165}}{2} \approx 14,66\)

\( \Rightarrow r = \frac{S}{p} \approx \frac{{39,44}}{{14,66}} \approx 2,7\)

Ta có: \(\widehat B = {75^o},\widehat C = {45^o}\)\( \Rightarrow \widehat A = {180^o} - \left( {{{75}^o} + {{45}^o}} \right) = {60^o}\)

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có:

\(\frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{BC}}{{\sin A}}\)

\( \Rightarrow AB = \sin C.\frac{{BC}}{{\sin A}} = \sin {45^o}.\frac{{50}}{{\sin {{60}^o}}} \approx 40,8\)

Vậy độ dài cạnh AB là 40,8.

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC, ta có:

\(\frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{AB}}{{\sin C}}\)

\( \Rightarrow AC = \sin B.\frac{{AB}}{{\sin C}} = \sin {60^o}.\frac{{12}}{{\sin {{45}^o}}} = 6\sqrt 6 \)

Lại có: \(\widehat A = {180^o} - ({60^o} + {45^o}) = {75^o}\)

\( \Rightarrow \)Diện tích tam giác ABC là:

\(S = \frac{1}{2}AB.AC.\sin A = \frac{1}{2}.12.6\sqrt 6 .\sin {75^o} \approx 85,2\)

Vậy diện tích tam giác ABC là 85,2.

Kẻ đường cao AH ứng với BC, đặt \(CH=x\Rightarrow BH=4-x\)

Trong tam giác vuông ABH

\(tanB=\dfrac{AH}{BH}\Rightarrow AH=BH.tanB=\left(4-x\right).tan70^0\)

Trong tam giác vuông ACH: 

\(tanC=\dfrac{AH}{CH}\Rightarrow AH=CH.tanC=x.tan45^0=x\)

\(\Rightarrow\left(4-x\right)tan70^0=x\)

\(\Leftrightarrow\left(1+tan70^0\right)x=4.tan70^0\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{4tan70^0}{1+tan70^0}\approx2,2\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow CH=AH=2,2\left(cm\right)\)

\(AC=\sqrt{CH^2+AH^2}=AH\sqrt{2}\approx3,1\left(cm\right)\)

\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AH.BC=\dfrac{1}{2}.2,2.4=4,4\left(cm^2\right)\)