x>y\(\ge\)0=>x-y>0 y+1>0

Đặt A=\(x+\dfrac{4}{\left(x-y\right)\left(y+1\right)^2}=\left(x-y\right)+\dfrac{4}{\left(x-y\right)\left(y+1\right)^2}+\left(y+1\right)-1\)

Áp dụng BĐT cô-si cho 2 số dương ta có:

\(\left(x-y\right)+\dfrac{4}{\left(x-y\right)\left(y+1\right)^2}\ge2\sqrt{\dfrac{\left(x-y\right)4}{\left(x-y\right)\left(y+1\right)^2}}=\dfrac{4}{y+1}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: (x-y)²(y+1)²=4

<=>(x-y)(y+1)=2(do là các số dương)

=>A\(\ge\dfrac{4}{y+1}+\left(y+1\right)-1\)

Áp dụng cô-si tiếp ta được:

\(\dfrac{4}{y+1}+\left(y+1\right)\ge2\sqrt{\dfrac{4}{y+1}\left(y+1\right)}=4\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi (y+1)²=4 <=>y+1=2<=>y=1

=>A\(\ge4-1=3\)

Dấu "=" xảy ra khi (x-y)(y+1)=2 và y=1

<=>x=2 y=1

BĐT\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{x-1}\right)^3+\left(\frac{x-1}{y}\right)^3+\left(\frac{1}{y}\right)^3\ge3\left(\frac{1}{x-1}+\frac{x-1}{y}+\frac{1}{y}-2\right)\)

Đặt \(\left(\frac{1}{x-1};\frac{x-1}{y};\frac{1}{y}\right)=\left(a;b;c\right)\)

BĐT cần cm \(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3\ge3\left(a+b+c-2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a^3+1+1\right)+\left(b^3+1+1\right)+\left(c^3+1+1\right)\ge3\left(a+b+c\right)\)

Đúng theo AM-GM --> đpcm

\(BDT\Leftrightarrow\dfrac{x^4}{x^2y^2}+\dfrac{y^4}{x^2y^2}+\dfrac{4x^2y^2}{x^2y^2}\ge3\left(\dfrac{x^2}{xy}+\dfrac{y^2}{xy}\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x^4+y^4-2x^2y^2+6x^2y^2}{x^2y^2}\ge\dfrac{3\left(x^2+y^2\right)}{xy}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x^4+y^4-2x^2y^2}{x^2y^2}\ge\dfrac{3x^2+3y^2}{xy}-\dfrac{6xy}{xy}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x^2-y^2\right)^2}{x^2y^2}\ge\dfrac{3\left(x^2-2xy+y^2\right)}{xy}=\dfrac{3\left(x-y\right)^2}{xy}\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left[\dfrac{\left(x+y\right)^2-3xy}{x^2y^2}\right]\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(\dfrac{x^2+y^2-xy}{x^2y^2}\right)\ge0\) (luôn đúng)

Vậy BĐT đã được chứng minh