Ôn tập cuối năm phần số học

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Võ Đông Anh Tuấn

Cho \(x>y\ge0\). CMR \(x+\dfrac{4}{\left(x-y\right)\left(y+1\right)^2}\ge3\)

Xuân Tuấn Trịnh
29 tháng 4 2017 lúc 18:26

x>y\(\ge\)0=>x-y>0 y+1>0

Đặt A=\(x+\dfrac{4}{\left(x-y\right)\left(y+1\right)^2}=\left(x-y\right)+\dfrac{4}{\left(x-y\right)\left(y+1\right)^2}+\left(y+1\right)-1\)

Áp dụng BĐT cô-si cho 2 số dương ta có:

\(\left(x-y\right)+\dfrac{4}{\left(x-y\right)\left(y+1\right)^2}\ge2\sqrt{\dfrac{\left(x-y\right)4}{\left(x-y\right)\left(y+1\right)^2}}=\dfrac{4}{y+1}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: (x-y)2(y+1)2=4

<=>(x-y)(y+1)=2(do là các số dương)

=>A\(\ge\dfrac{4}{y+1}+\left(y+1\right)-1\)

Áp dụng cô-si tiếp ta được:

\(\dfrac{4}{y+1}+\left(y+1\right)\ge2\sqrt{\dfrac{4}{y+1}\left(y+1\right)}=4\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi (y+1)2=4 <=>y+1=2<=>y=1

=>A\(\ge4-1=3\)

Dấu "=" xảy ra khi (x-y)(y+1)=2 và y=1

<=>x=2 y=1


Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Thiện Minh
Xem chi tiết
Quang Duy
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Hồng Hạnh
Xem chi tiết
 Quỳnh Anh Shuy
Xem chi tiết
Xuân Dương
Xem chi tiết
junghyeri
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Huyền Trang
Xem chi tiết
Khánh Vân
Xem chi tiết
Võ Đông Anh Tuấn
Xem chi tiết