Phương trình \(\sin 5x + \cos 3x=\sin x +2\sqrt{3}\sin 2x+ \sqrt{3}\) có bao nhiêu nghiệm trong khoảng \((0,\dfrac{3\pi}{2})\)?
1234Hướng dẫn giải:
Ta có \(\sin 5x + \cos 3x=\sin x +2\sqrt{3}\sin 2x+ \sqrt{3}\) \(\Leftrightarrow\sin5x-\sin x+\cos3x-2\sqrt{3}\sin2x-\sqrt{3}=0\Leftrightarrow2\cos3x.\sin2x+\cos3x-2\sqrt{3}\sin2x-\sqrt{3}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\cos3x-\sqrt{3}\right)\left(2\sin2x+1\right)=0\Leftrightarrow\sin2x=-\dfrac{1}{2}\).
Đặt \(t=2x\) thì điều kiện \(x\in\left(0;\dfrac{3\pi}{2}\right)\) tương đương với \(t\in\left(0;3\pi\right)\). Bài toán trở thành: Tính số nghiệm trong khoảng \(\left(0;3\pi\right)\) của phương trình \(\sin t=-\dfrac{1}{2}\).
Trong khoảng \(\left(0;2\pi\right)\) phương trình \(\sin t=-\dfrac{1}{2}\) có đúng 2 nghiệm. Trong khoảng \([2\pi;3\pi)\) phương trình \(\sin t=-\dfrac{1}{2}\) vô nghiệm (vì \(\sin t\ge0,\forall t\in[2\pi;3\pi)\) ).
Đáp số: 2