\(\lim\limits_{x\rightarrow2}\frac{\sqrt[3]{8x+11}-\sqrt{x+7}}{x^2-3x+2}\) bằng bao nhiêu?
\(\frac{7}{54}\) \(\frac{1}{9}\) \(\frac{4}{27}\) \(\frac{1}{6}\) Hướng dẫn giải:Cách 1(biến đổi hàm số cần tính giới hạn): Chú ý rằng khi \(x=2\) thì \(\sqrt[3]{8x+11}=3\) và \(\sqrt{x+7}=3\) vì thế ta viết lại tử số của hàm số cần tính giới hạn thành
\(\sqrt[3]{8x+11}-3-\left(\sqrt{x+7}-3\right)=\frac{\left(8x+11\right)-27}{\sqrt[3]{\left(8x+11\right)^2}+3\sqrt[3]{8x+11}+9}-\frac{\left(x+7\right)-9}{\sqrt{x+7}+3}=\frac{8\left(x-2\right)}{\sqrt[3]{\left(8x+11\right)^2}+3\sqrt[3]{8x+11}+9}-\frac{x-2}{\sqrt{x+7}+3}\)
Mẫu số của hàm số cần tính giới hạn là \(x^2-3x+2=\left(x-1\right)\left(x-2\right)\), đó đó hàm số cần tính giới hạn có thể viết lại thành \(\varphi\left(x\right)=\frac{1}{x-1}\left(\frac{8}{\sqrt[3]{\left(8x+11\right)^2}+3\sqrt[3]{8x+11}+9}-\frac{1}{\sqrt{x+7}+3}\right)\). Giói hạn cần tính bằng \(\varphi\left(2\right)=\frac{8}{27}-\frac{1}{6}=\frac{7}{54}\).
Cách 2 (mẹo-sử dụng MTCT): Giới hạn cần tính có dạng \(\frac{0}{0}\) và bằng \(\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(\sqrt[3]{8x+11}-\sqrt{x+7}\right)|_{x=2}:\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(x^2-3x+2\right)|_{x=2}.\) Dùng MTCT để tính giá trị này: Tính đạo hàm thứ nhất lưu vào ô nhớ A, tính tiếp đạo hàm thứ hai, lưu vào ô nhớ B, tính A:B và lưu kết quả vào ô nhớ M. Lần lượt tính các hiệu \(\text{M}-\frac{1}{6};\text{M}-\frac{1}{9};\text{M}-\frac{4}{27};\text{M}-\frac{7}{54}\) ta thấy hiệu \(M-\frac{7}{54}\) có giá trị tuyệt đối nhỏ nhất, xấp xỉ \(0\) nên đáp số đúng là \(\frac{7}{54}.\) Sau đây là các thao tác cụ thể trên MTCT Casio 570fx.