Tính \(\lim\limits_{x\rightarrow1}\left(\frac{n}{1-x^n}-\frac{1}{1-x}\right)\).
\(\frac{n}{2}\) \(\frac{n-1}{2}\) \(\frac{n-1}{n}\) \(\frac{1}{n}\) Hướng dẫn giải:Cách 1 (biến đổi hàm):
Có \(\left(\frac{n}{1-x^n}-\frac{1}{1-x}\right)=\frac{n}{1-x^n}-\frac{1+x+x^2+...+x^{n-1}}{1-x^n}=\frac{\left(1-x\right)+\left(1-x^2\right)+...+\left(1-x^{n-1}\right)}{\left(1-x\right)\left(1+x+x^2+...+x^{n-1}\right)}\)\(=\frac{1+\left(1+x\right)+\left(1+x+x^2\right)+...+\left(1+x+x^2+...+x^{n-2}\right)}{1+x+x^2+...+x^{n-1}}\). Khi \(x\rightarrow1\) hàm số nhận giới hạn là \(\frac{1+2+3+...+\left(n-1\right)}{n}=\frac{\left(1+n-1\right)\left(n-1\right)}{2n}=\frac{n-1}{2}\)
Cách 2 (Mẹo - dùng MTCT): Với \(n=3\) thì \(4\) đáp số trong đề bài đôi một khắc nhau : \(\frac{n}{2}=\frac{3}{2};\frac{n-1}{2}=1;\frac{n-1}{n}=\frac{2}{3};\frac{1}{n}=\frac{1}{3}.\) Giới hạn cần tính là
\(\lim\limits_{x\rightarrow1}\left(\frac{3}{1-x^3}-\frac{1}{1-x}\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1}\left(\frac{1}{x-1}-\frac{3}{x^3-1}\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1}\frac{1-\frac{3}{x^2+x+1}}{x-1}=\lim\limits_{x\rightarrow1}\frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}=f'\left(1\right)\),
trong đó \(f\left(x\right)=1-\frac{3}{x^2+x+1}.\) Sử dụng MTCT để tính giá trị đạo hàm này ta được kết quả là \(1.\) Nghĩa là đáp số đúng phải là \(\frac{n-1}{2}.\)