Cho chóp SABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh x. Mặt bên SAD là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. \(\widehat{SAD}=30^o\).
\(\frac{\sqrt{11}}{11}x.\) \(\frac{\sqrt{13}}{13}x.\) \(\frac{\sqrt{15}}{15}x.\) \(\frac{\sqrt{17}}{17}x.\)Tính khoảng cách từ D đến (SBC).
Hướng dẫn giải:
Gọi M, E lần lượt là trung điểm của AD và BC. Khi đó \(ME\perp\left(SAD\right)\Rightarrow ME\perp SM.\)
Lại có do tam giác SAD cân tại S nên SM là trung tuyến đồng thời đường cao, hay \(SM\perp AD\). Từ đó suy ra \(SM\perp\left(ABCD\right).\)
\(SM=AM.tan30^o=\frac{x}{2}.\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{x\sqrt{3}}{6}\)
Vậy \(V_{SDBC}=\frac{1}{3}.S_{DBC}.SM=\frac{1}{3}.\frac{x^2}{2}.\frac{x\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{36}x^3.\)
Do \(SM\perp BC;ME\perp BC\Rightarrow BC\perp\left(SME\right)\Rightarrow BC\perp SE.\)
\(SE=\sqrt{SM^2+ME^2}=\sqrt{\frac{x^2}{12}+x^2}=\frac{\sqrt{39}}{6}x.\)
\(S_{SBD}=\frac{1}{2}.BC.SE=\frac{1}{2}x.\frac{x\sqrt{39}}{6}=\frac{\sqrt{39}}{12}x^2.\)
Vậy \(d\left(D;\left(SBC\right)\right)=\frac{3.V_{SDBC}}{S_{SBC}}=\left(3.\frac{\sqrt{3}}{36}x^3\right):\frac{\sqrt{39}}{12}x^2=\frac{\sqrt{13}}{13}x.\)