Trong số các phương trình dưới đây, phương trình nào tương đương với phương trình \(2\sin^3x+4\cos^3x=3\sin x\) ?
\(\tan x=1\) \(2\tan^3x-3\tan x+4=0\) \(4\cot^3x-3\cot x+2=0\) \(\cot x=0\) Hướng dẫn giải:
- Xét trường hợp \(\cos x=0\), khi đó \(\sin x=\pm1\), phương trình không thỏa mãn do \(2.\left(\pm1\right)^3\ne3.\left(\pm1\right)\), vậy phương trình không có nghiệm khi \(\cos x=0\)
- Với \(\cos x\ne0\), ta chia cả hai vế cho \(\cos^3x\) ta có: (chú ý: \(\frac{1}{\cos^2x}=1+\tan^2x\))
\(2\frac{\sin^3x}{\cos^3x}+4=3\frac{\sin x}{\cos x}\frac{1}{\cos^2x}\)
\(\Leftrightarrow2\tan^3x+4=3\tan x\left(1+\tan^2x\right)\)
\(\Leftrightarrow-\tan^3x-3\tan x+4=0\)
\(\Leftrightarrow-\tan^3x+\tan x-4\tan x+4=0\)
\(\Leftrightarrow-\tan x\left(\tan^2x-1\right)-4\left(\tan x-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow-\tan x\left(\tan x-1\right)\left(\tan x+1\right)-4\left(\tan x-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\tan x-1\right)\left[-\tan^2x-\tan x-4\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\tan x-1\right)\left[\tan^2x+\tan x+4\right]=0\)
Ta có \(\tan^2x+\tan x+4>0\) (vì \(\Delta=1-4.4=-15< 0\)) nên phương trình trên tương đương với:
\(\tan x=1\)