Bài tập cuối chương VII

Hướng dẫn giải

a) Phương trình tổng quát của đường thẳng \(A{F_1}{\rm{ }}\)là:\(\frac{x}{{ - 3}} + \frac{y}{4} = 1 \Leftrightarrow 4x - 3y + 12 = 0\).

Phương trình tổng quát của đường thẳng \(A{F_2}{\rm{ }}\)là:\(\frac{x}{3} + \frac{y}{4} = 1 \Leftrightarrow 4x + 3y - 12 = 0\).

b) Giả sử  tâm đường tròn là điểm \(I\left( {a;b} \right)\). Ta có: \(IA = I{F_1} = I{F_2} \Leftrightarrow I{A^2} = I{F_1}^2 = I{F_2}^2\)

Vì \(I{A^2} = I{F_1}^2,I{F_1}^2 = I{F_2}^2\) nên: \(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {\left( {4 - b} \right)^2} = {\left( { - 3 - a} \right)^2} + {b^2}\\{\left( { - 3 - a} \right)^2} + {b^2} = {\left( {3 - a} \right)^2} + {b^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = \frac{7}{8}\end{array} \right.\) .

=> \(I\left( {0;\frac{7}{8}} \right)\) và \(R = IA = \sqrt {{0^2} + {{\left( {\frac{{25}}{8}} \right)}^2}}  = \frac{{25}}{8}\)

Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác \(A{F_1}{F_2}\) là: \({x^2} + {\left( {y - \frac{7}{8}} \right)^2} = {\left( {\frac{{25}}{8}} \right)^2}\)

c) Gọi phương trình chính tắc của elip là: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\left( {a > b > 0} \right)\).

Do elip có 2 tiêu điểm \({F_1},{F_2}\) nên \(\sqrt {{a^2} - {b^2}}  = c = 3 \Leftrightarrow {a^2} - {b^2} = 9\).

Mặt khác điểm A thuộc elip nên \(\frac{{16}}{{{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow b = 4\left( {do{\rm{ }}b > 0} \right)\). Vậy \(a = 5\).

Vậy phương trình chính tắc của elip là: \(\frac{{{x^2}}}{{{5^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{4^2}}} = 1\).

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) Vị trí máy bay  vào lúc 14 giờ 30 phút là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{1600}}{3} - \frac{{1400}}{3}.\frac{1}{2} = 300\\y = \frac{{1900}}{3} - \frac{{1400}}{3}.\frac{1}{2} = 400\end{array} \right.\)

Vậy tọa độ máy bay là \(\left( {300;400} \right)\). Thời điểm này máy bay đã xuất hiện trên màn hình ra đa.

b) Ta có: \(MO = \sqrt {{{\left( {\frac{{1600}}{3} - \frac{{1400}}{3}t} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{1900}}{3} - \frac{{1400}}{3}t} \right)}^2}} \).

Do có \(M{O_{\min }} = 50\sqrt 2  \Leftrightarrow t = \frac{5}{4}\).

Vậy sau khi bay \(\frac{5}{4} = 1,25\) (giờ) tức là lúc 15h15p thì máy bay gần ra đa nhất và khoảng cách từ ra đa đến máy bay khi đó là \(50\sqrt 2 \left( {km} \right)\).

c) Máy bay rời khỏi màn hình ra đa khi mà khoảng cách từ M đến O lớn hơn 500km tức là:

\(MO = \sqrt {{{\left( {\frac{{1600}}{3} - \frac{{1400}}{3}t} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{1900}}{3} - \frac{{1400}}{3}t} \right)}^2}}  \ge 500 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{1}{2}\\t = 2\end{array} \right.\)

Vậy sau khi bay được 2h tức là lúc 16h thì máy bay thoát khỏi màn hình ra đa.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)