Bài tập cuối chương III

Hướng dẫn giải

a) Biểu thức \(4{x^2} - 1\) có nghĩa với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Vậy tập xác định của hàm số này là \(D = \mathbb{R}\)

b) Biểu thức \(f(x)\) có nghĩa khi và chỉ khi \({x^2} + 1 \ne 0,\)tức là với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Vậy tập xác định của hàm số này là \(D = \mathbb{R}\)

c) Biểu thức \(f(x)\) có nghĩa khi và chỉ khi \(\frac{1}{x}\) có nghĩa, tức là khi \(x \ne 0,\)

Vậy tập xác định của hàm số này là \(D = \mathbb{R}{\rm{\backslash }}\{ 0\} \)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) Để hàm số \(y = (1 - 3m){x^2} + 3\) là hàm số bậc hai thì: \(1 - 3m \ne 0\) tức là \(m \ne \frac{1}{3}\)

Vậy \(m \ne \frac{1}{3}\) thì hàm số đã cho là hàm số bậc hai.

b) Để hàm số \(y = (4m - 1){(x - 7)^2}\) là hàm số bậc hai thì: \(4m - 1 \ne 0\) tức là \(m \ne \frac{1}{4}\)

Vậy \(m \ne \frac{1}{4}\) thì hàm số đã cho là hàm số bậc hai.

c) Để hàm số \(y = 2({x^2} + 1) + 11 - m\) là hàm số bậc hai thì: \(2 \ne 0\) và \(m \in \mathbb R\)

Vậy \(m \in \mathbb R\) thì hàm số đã cho là hàm số bậc hai.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Tham khảo:

a)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai \(y = {x^2} - 4x + 3\) là một parabol (P):

+ Có đỉnh S với hoành độ: \({x_S} = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - ( - 4)}}{{2.1}} = 2;{y_S} = {2^2} - 4.2 + 3 =  - 1.\)

+ Có trục đối xứng là đường thẳng \(x = 2\) (đường thẳng này đi qua đỉnh S và song song với trục Oy);

+ Bề lõm quay lên trên vì \(a = 1 > 0\)

+ Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; 3).

Ta vẽ được đồ thị như hình dưới.

b)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai \(y =  - {x^2} - 4x + 5\) là một parabol (P):

+ Có đỉnh S với hoành độ: \({x_S} = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - ( - 4)}}{{2.( - 1)}} =  - 2;{y_S} =  - {( - 2)^2} - 4.( - 2) + 5 = 9.\)

+ Có trục đối xứng là đường thẳng \(x =  - 2\) (đường thẳng này đi qua đỉnh S và song song với trục Oy);

+ Bề lõm quay xuống dưới vì \(a =  - 1 < 0\)

+ Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; 5).

Ta vẽ được đồ thị như hình dưới.

c) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai \(y = {x^2} - 4x + 5\) là một parabol (P):

+ Có đỉnh S với hoành độ: \({x_S} = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - ( - 4)}}{{2.1}} = 2;{y_S} = {2^2} - 4.2 + 5 = 1.\)

+ Có trục đối xứng là đường thẳng \(x = 2\) (đường thẳng này đi qua đỉnh S và song song với trục Oy);

+ Bề lõm quay lên trên vì \(a = 1 > 0\)

+ Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; 5).

Ta vẽ được đồ thị như hình dưới.

d)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai \(y =  - {x^2} - 2x - 1\) là một parabol (P):

+ Có đỉnh S với hoành độ: \({x_S} = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - ( - 2)}}{{2.( - 1)}} =  - 1;{y_S} =  - {( - 1)^2} - 2.( - 1) - 1 = 0\)

+ Có trục đối xứng là đường thẳng \(x =  - 1\) (đường thẳng này đi qua đỉnh S và song song với trục Oy);

+ Bề lõm quay xuống dưới vì \(a =  - 1 < 0\)

+ Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -1, tức là đồ thị đi qua gốc tọa độ (0; -1).

Ta vẽ được đồ thị như hình dưới.

(Trả lời bởi Kiều Sơn Tùng)

Hướng dẫn giải

Tham khảo:

a) Đổi: 1 giờ 30 phút = 1,5 giờ; 15 phút = 0,25 giờ; t phút = \(\frac{t}{{60}}\) giờ

Nếu \(t \le 90\)(phút) thì quãng đường s mà người đó đi được là: \(42.\frac{t}{{60}} = 0,7t\)(km)

Nếu \(90 < t \le 90 + 15 = 105\)(phút) thì quãng đường s mà người đó đi được là: \(42.1,5 = 63\)(km)

Nếu \(105 < t \le 105 + 120 = 225\)(phút) thì quãng đường s mà người đó đi được là: \(42.1,5 + (\frac{t}{{60}} - 1,5 - 0,25).30 = 0,5t + 10,5.\)(km)

Như vậy hàm số tính quãng đường s (km) sau t phút là:

\(s = \left\{ \begin{array}{l}0,7t\quad \quad \quad \quad (0 \le t \le 90)\\63\quad \quad \quad \quad \;\;\;(90 < t \le 105)\\0,5t + 10,5\quad \;\;(105 < t \le 225)\end{array} \right.\)

b)

Với \(0 \le t \le 90\) thì \(s = 0,7t\)

Trên đoạn [0;90] ta vẽ đường thẳng \(s = 0,7t\)

Với \(90 < t \le 105\) thì \(s = 63(km)\)

Trên nửa khoảng (90;105] ta vẽ đường thẳng \(s = 63\)

Với \(105 < t \le 225\)(phút) thì \(s = 0,5t + 10,5.\)(km)

Trên nửa khoảng (105;225] ta vẽ đường thẳng \(s = 0,5t + 10,5.\)

Như vậy ta được đồ thị biểu diễn hàm số s theo t như hình trên.

(Trả lời bởi Kiều Sơn Tùng)

Hướng dẫn giải

Tham khảo:

Đỉnh S có tọa độ: \({x_S} = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - m}}{{2.2}} =  - \frac{m}{4};{y_S} = f( - \frac{m}{4})\)

Vì hàm số bậc hai có \(a = 2 > 0\) nên ta có bảng biến thiên sau:

 

Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(f( - \frac{m}{4}).\)

Hàm số giảm trên \(( - \infty ; - \frac{m}{4})\) và tăng trên \(( - \frac{m}{4}; + \infty )\)

Theo giả thiết, ta có:

Hàm số giảm trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\)\( \Rightarrow \left( { - \infty ;1} \right) \subset ( - \infty ; - \frac{m}{4}) \Leftrightarrow 1 \le  - \frac{m}{4}.\)

Tương tự hàm số tăng trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\)\( \Rightarrow \left( {1; + \infty } \right) \subset ( - \frac{m}{4}; + \infty ) \Leftrightarrow  - \frac{m}{4} \le 1.\)

Do đó: \( - \frac{m}{4} = 1\) hay \(m =  - 4\)

Lại có: Tập giá trị là \([9; + \infty )\)\( \Rightarrow \)Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 9.

\( \Leftrightarrow f(1) = f( - \frac{m}{4}) = 9 \Leftrightarrow {2.1^2} + ( - 4).1 + n = 9 \Leftrightarrow n = 11.\)

Vậy \(m =  - 4,n = 11.\)

(Trả lời bởi Kiều Sơn Tùng)

Hướng dẫn giải

Gọi \(y = f(x) = a{x^2} + bx + c\) là công thức của hàm số có đồ thị là hình ảnh của bộ phận chống đỡ. 

Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình dưới:

Gọi S là đỉnh của parabol, dưới vị trí nhảy 1m.

A, B là các điểm như hình vẽ.

Dễ thấy: A (50; 45) và B (120+50; 0) = (170; 0).

Các điểm O, A, B đều thuộc đồ thị hàm số.

Do đó:

\(f(0) = a{.0^2} + b.0 + c = 0 \Leftrightarrow c = 0\)

\(f(50) = a{.50^2} + b.50 + c = 45 \Leftrightarrow a{.50^2} + b.50 = 45\)

\(f(170) = a{.170^2} + b.170 + c = 0 \Leftrightarrow a{.170^2} + b.170 = 0 \Leftrightarrow a.170+ b = 0\)

Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}a{.50^2} + b.50 = 45\\a.170 + b = 0\end{array} \right.\) ta được \(a =  - \frac{{3}}{{400}};b = \frac{{51}}{{40}}\)

Vậy \(y = f(x) =  - \frac{{3}}{{400}}{x^2} + \frac{{51}}{{40}}x\)

Đỉnh S có tọa độ là \({x_S} = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - \frac{{51}}{{40}}}}{{2.\left( { - \frac{{3}}{{400}}} \right)}} = 85;\;{y_S} =  - \frac{{3}}{{400}}.8{5^2} + \frac{{51}}{{40}}.85 = \frac{{867}}{{16}} \approx 54,2\)

Khoảng cách từ vị trí bắt đầu nhảy đến mặt nước là: \(1 + 54,2 + 43 = 98,2(m)\)

Vậy chiều dài của sợi dây đó là: \(98,2:3  \approx 32,7\,(m)\)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Gắn hệ trục tọa độ Oxy như hình dưới:

 

Gọi A vị trí hàng rơi xuống, khi đó \({y_A} = 0\). Ta có, tọa độ của A thỏa mãn:

 \(\left\{ \begin{array}{l}x = 50t\\y = 80 - \frac{1}{2}.9,8.{t^2}\end{array} \right.\)

Mà \({y_A} = 0 \Rightarrow 0 = 80 - \frac{1}{2}.9,8.{t^2} \Leftrightarrow {t^2} \approx 16,33 \Rightarrow t \approx 4(s)\)

Do đó \({x_A} = 50.4 = 200(m)\) hay khoảng cách giữa máy bay và thùng hàng cứu trợ là 200m.

Vậy để thùng hàng cứu trợ rơi đúng vị trí được chọn thì máy bay cần thả hàng khi cách điểm đó 200m.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)