Tứ giác ABCD có số đo bốn góc A, B, C, D theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Biết số đo góc C gấp 5 lần số đo góc A. Tính số đo các góc của tứ giác ABCD theo đơn vị độ.
Tứ giác ABCD có số đo bốn góc A, B, C, D theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Biết số đo góc C gấp 5 lần số đo góc A. Tính số đo các góc của tứ giác ABCD theo đơn vị độ.
Người ta trồng cây theo các hàng ngang với quy luật: ở hàng thứ nhất có 1 cây, ở hàng thứ hai có 2 cây, ở hàng thứ ba có 3 cây,… ở hàng thứ n có n cây. Biết rằng người ta trồng hết 4 950 cây. Hỏi số hàng cây được trồng theo cách trên là bao nhiêu?
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiGiải sữ người ta đã trồng được n hàng.
Số cây ở mỗi hàng lập thành một cấp số cộng với u1 = 1, công sai d = 1
Tổng số cây ở n hàng cây là:
\({S_n} = \frac{{n\left( {1 + n} \right)}}{2} = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} = 4950\)
⇔ n2 + n – 9 900 = 0
⇔ n = 99 (thỏa mãn) hoặc n = – 100 (không thỏa mãn)
Vậy có 99 hàng cây được trồng theo cách trên.
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Một cái tháp có 11 tầng. Diện tích của mặt sàn tầng 2 bằng nửa diện tích của mặt đáy tháp và diện tích của mặt sàn mỗi tầng bằng nửa diện tích của mặt sàn mỗi tầng ngay bên dưới. Biết mặt đáy tháp có diện tích là \(12\,\,288\,\,{m^2}\). Tính diện tích của mặt sàn tầng trên cùng của tháp theo đơn vị mét vuông.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiDiện tích mặt đáy tháp là u1 = 12 288 (m2).
Diện tích mặt sàn tầng 2 là: u2 = 12 288.\(\frac{1}{2}\) = 6 144 (m2).
...
Gọi diện tích mặt sàn tầng n là un với n ∈ ℕ*.
Dãy (un) lập thành một cấp số nhân là u1 = 12 288 và công bội \(q = \frac{1}{2}\), có số hạng tổng quát là: un = 12 288.\({\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}}\).
Diện tích mặt tháp trên cùng chính là mặt tháp thứ 11 nên ta có:
u11 = 12 288.\({\left( {\frac{1}{2}} \right)^{11 - 1}}\) = 12 (m2).
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Một khay nước có nhiệt độ \(23^\circ C\) được đặt vào ngăn đá của tủ lạnh. Biết sau mỗi giờ, nhiệt độ của nước giảm 20%. Tính nhiệt độ của khay nước đó sau 6 giờ theo đơn vị độ C.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiGọi un là nhiệt độ của khay nước đó sau n giờ (đơn vị độ C) với n ∈ ℕ*.
Ta có: u1 = 23; u2 = 23 – 23.20% = 23.(1 – 20%) = 23.80%; u3 = 23.80%.80% = 23.(80%)2; ...
Suy ra dãy (u1) lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu u1 = 23 và công bội q = 80% có số hạng tổng quát un = 23.(80%)n-1 oC.
Vậy sau 6 giờ thì nhiệt độ của khay là u6 = 23.(80%)5 ≈ 7,5°C.
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Một hình vuông \({C_1}\) có cạnh bằng 4. Người ta chia mỗi cạnh hình vuông thàng bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông \({C_2}\) (Hình 4). Từ hình vuông \({C_2}\) lại làm tiếp tục như trên để có hình vuông \({C_3}\). Cứ tiếp tục quá trình như trên, ta nhận được dãy các hình vuông \({C_1},{C_2},{C_3},..,{C_n},...\). Gọi \({a_n}\) là độ dài cạnh hình vuông \({C_n}\). Chứng minh rằng dãy số \(\left( {{a_n}} \right)\) là cấp số nhân.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiTa có độ dài cạnh các hình vuông \({C_1},{C_2},{C_3},{C_4},...\;\) là \({a_1} = 4;{a_2} = \sqrt {10} ;{a_3} = \frac{5}{2};{a_4} = \frac{{5\sqrt {10} }}{8};...\)
Độ dài cạnh của hình vuông thứ n là: \({a_n} = \frac{{\sqrt {10} }}{4}{a_{n - 1}}\).
Vậy \(\frac{{{a_n}}}{{{a_{n - 1}}}} = \frac{{\sqrt {10} }}{4} = q\)
Vậy (an) là một cấp số nhân với số hạng đầu \({a_1} = 4\) và công bội \(q = \frac{{\sqrt {10} }}{4}\)
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Ông An vay ngân hàng 1 tỉ đồng, với lãi suất 12%/năm. Ông đã trả nợ theo cách: Bắt đầu từ tháng thứ nhất sau khi vay, cuối mỗi tháng ông trả ngân hàng cùng số tiền là a (đồng) và đã trả hết nợ sau đúng 2 năm kể từ ngày vay. Hỏi số tiền mỗi tháng mà ông An phải trả là bao nhiêu đồng (làm tròn kết quả đến hàng nghìn)?
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiGọi unn là số tiền sau mỗi tháng ông An còn nợ ngân hàng.
Lãi suất mỗi tháng là 1% .
Ta có:
u1 = 1 000 000 000 đồng.
u2 = u1 + u1.1% - a = u1(1 + 1%) – a (đồng)
u3 = u1(1 + 1%) – a + [u1(1 + 1%) – a].1% – a = u1(1 + 1%)2 – a(1 + 1%) – a
...
un = u1(1 + 1%)n-1 – a(1 + 1%)n-2 – a(1 + 1%)n-3 – a(1 + 1%)n-4 – ... – a.
Ta thấy dãy a(1 + 1%)n-1; a(1 + 1%)n-3; a(1 + 1%)n-4; ...; a lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu a1 = a và công bội q = 1 + 1% = 99% có tổng n – 2 số hạng đầu là:
\({S_{n - 2}} = \frac{{a\left[ {1 - {{\left( {99\% } \right)}^{n - 2}}} \right]}}{{1 - 99\% }} = 100a\left[ {1 - {{\left( {99\% } \right)}^{n - 2}}} \right]\).
Suy ra un = u1(1 + 1%)n-1 – 100a[1 – (99%)n-2].
Vì sau 2 năm = 24 tháng thì ông An trả xong số tiền nên n = 24 và u24 = 0. Do đó ta có:
u24 = u1(1 + 1%)23 – 100a[1 – (99%)22] = 0
⇔ 1 000 000 000.(99%) – 100a[1 – (99%)22] = 0
⇔ a = 40 006 888,25
Vậy mỗi tháng ông An phải trả 40 006 888,25 đồng.
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)