Bài 9. Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị

Hướng dẫn giải

a) Không thể tính chính xác khoảng biến thiên cho mẫu số liệu gốc.

b) Giá trị nhỏ nhất có thể là \({30^0}C\), giá trị lớn nhất là giá trị nhiệt độ lớn nhất có thể là \(39,{9^0}C\).

c) Một giá trị xấp xỉ cho khoảng biến thiên của mẫu số liệu gốc là: \(39,9 - 30 = 9,9\left( {^0C} \right)\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trong bảng 3.1 là: \(R = {a_{k + 1}} - {a_1}\).

Gọi giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu gốc là \({a_1}'\) thì \({a_1}' \ge {a_1}\).

Gọi giá trị lớn nhất của mẫu số liệu gốc là \({a_k}'\) thì \({a_{k + 1}}' < {a_{k + 1}}\).

Khi đó, khoảng biến thiên của mẫu số liệu gốc là: \(R' = {a_{k + 1}}' - {a_1}'\).

Do đó, \(R > R'\)

Vậy khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trong Bảng 3.1 lớn hơn khoảng biến thiên của mẫu số liệu gốc.

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) Khoảng biến thiên R cho mẫu số liệu ghép nhóm trên là: \(45 - 25 = 20\)

b) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu gốc là: \(43 - 27 = 16\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) Không thể tính chính xác khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu gốc.

b) Cỡ mẫu \(n = 30\). Giả sử \({y_1},{y_2},...,{y_{30}}\) là nhiệt độ cao nhất trong ngày của 30 ngày tháng Sáu năm 2022 và giả sử dãy số liệu gốc này đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.

Vì \(\frac{n}{4} = \frac{{30}}{4} = 7,5\) và \(2 + 3 < 7,5 < 2 + 3 + 4\) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là nhóm \(\left[ {32;34} \right)\) và tứ phân vị thứ nhất là: \({Q_1} = 32 + \frac{{\frac{{30}}{4} - \left( {2 + 3} \right)}}{4}.\left( {34 - 32} \right) = 33,25\)

Vì \(\frac{{3n}}{4} = \frac{{3.30}}{4} = 22,5\) và \(2 + 3 + 4 + 11 < 22,5 < 2 + 3 + 4 + 11 + 8\) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là nhóm \(\left[ {36;38} \right)\) và tứ phân vị thứ ba là: \({Q_3} = 36 + \frac{{\frac{{3.30}}{4} - \left( {2 + 3 + 4 + 11} \right)}}{8}.\left( {38 - 36} \right) = 36,625\)

c) Một giá trị xấp xỉ cho khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu gốc là: \(36,625 - 33,25 = 3,375\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Hiệu chỉnh lại bảng số liệu ta có:

Thời gian t (phút)	[0;1)	[1; 2)	[2; 3)	[3; 4)	[4; 5)
Số cuộc gọi	8	17	25	20	10

Cỡ mẫu \(n = 80\). Giả sử \({x_1},{x_2},...,{x_{80}}\) là thời gian đàm thoại của 80 cuộc gọi và giả sử dãy số liệu gốc này đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.

Vì \(\frac{n}{4} = 20\) và \(8 < 20 < 8 + 17\) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là nhóm \(\left[ {1;2} \right)\) và tứ phân vị thứ nhất là: \({Q_1} = 1 + \frac{{\frac{{80}}{4} - 8}}{{17}}.1 = \frac{{29}}{{17}}\)

Vì \(\frac{{3n}}{4} = 60\) và \(8 + 17 + 25 < 20 < 8 + 17 + 25 + 20\) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là nhóm \(\left[ {3;4} \right)\) và tứ phân vị thứ ba là: \({Q_3} = 3 + \frac{{\frac{{3.80}}{4} - \left( {8 + 17 + 25} \right)}}{{20}}.1 = 3,5\)

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \(3,5 - \frac{{29}}{{17}} = \frac{{61}}{{34}}\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Năm 2021: Khoảng biến thiên của nhiệt độ là: \({R_1} = 40 - 30 = 10\)

Cỡ mẫu \(n = 30\). Giả sử \({y_1},{y_2},...,{y_{30}}\) là nhiệt độ cao nhất trong ngày của 30 ngày tháng Sáu năm 2021 và giả sử dãy số liệu gốc này đã được sắp xếp theo thứ tự không giảm.

Vì \(\frac{n}{4} = \frac{{30}}{4} = 7,5\) và \(2 < 7,5 < 2 + 8\) nên tứ phân vị thứ nhất thuộc nhóm \(\left[ {32;34} \right)\) và tứ phân vị thứ nhất là: \({Q_1} = 32 + \frac{{\frac{{30}}{4} - 2}}{8}.2 = 33,375\)

Vì \(\frac{{3n}}{4} = \frac{{3.30}}{4} = 22,5\) và \(2 + 8 + 5 + 6 < 22,5,5 < 2 + 8 + 5 + 6 + 9\) nên tứ phân vị thứ ba thuộc nhóm \(\left[ {38;40} \right)\) và tứ phân vị thứ ba là: \({Q_3} = 38 + \frac{{\frac{{3.30}}{4} - \left( {2 + 8 + 5 + 6} \right)}}{9}.2 = \frac{{115}}{3}\)

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({\Delta _{{Q_1}}} = \frac{{115}}{3} - 33,375 = \frac{{119}}{{24}}\)

Năm 2022: Khoảng biến thiên của nhiệt độ là: \({R_2} = 40 - 28 = 12\)

Cỡ mẫu \(n = 30\). Giả sử \({z_1},{z_2},...,{z_{30}}\) là nhiệt độ cao nhất trong ngày của 30 ngày tháng Sáu năm 2022 và giả sử dãy số liệu gốc này đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.

Vì \(\frac{n}{4} = \frac{{30}}{4} = 7,5\) và \(2 + 3 < 7,5 < 2 + 3 + 4\) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là nhóm \(\left[ {32;34} \right)\) và tứ phân vị thứ nhất là: \(Q{'_1} = 32 + \frac{{\frac{{30}}{4} - \left( {2 + 3} \right)}}{4}.\left( {34 - 32} \right) = 33,25\)

Vì \(\frac{{3n}}{4} = \frac{{3.30}}{4} = 22,5\) và \(2 + 3 + 4 + 11 < 22,5 < 2 + 3 + 4 + 11 + 8\) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là nhóm \(\left[ {36;38} \right)\) và tứ phân vị thứ ba là: \(Q{'_3} = 36 + \frac{{\frac{{3.30}}{4} - \left( {2 + 3 + 4 + 11} \right)}}{8}.\left( {38 - 36} \right) = 36,625\)

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({\Delta _{{Q_2}}} = 36,625 - 33,25 = 3,375\)

Theo khoảng biến thiên: Vì \({R_2} > {R_1}\) nên nhiệt độ cao nhất trong ngày vào tháng 6 năm 2022 biến đổi nhiều hơn nhiệt độ cao nhất trong ngày vào tháng 6 năm 2021.

Theo khoảng tứ phân vị: Vì \({\Delta _{{Q_1}}} > {\Delta _{{Q_2}}}\) nên nhiệt độ cao nhất trong ngày vào tháng 6 năm 2021 biến đổi nhiều hơn nhiệt độ cao nhất trong ngày vào tháng 6 năm 2022.

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) Bảng số liệu ghép nhóm:

Số thẻ	[40; 50)	[50; 60)	[60; 70)	[70; 80)	[80; 90)	[90; 100)	[100; 110)
Tần số	2	5	7	5	0	0	1

b) Với mẫu số liệu gốc: Khoảng biến thiên là: \({R_1} = 101 - 42 = 59\)

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm là:

42; 47; 50; 55; 55; 57; 59; 60; 61; 63; 63; 67; 67; 68; 73; 75; 78; 79; 79; 101

Vì \(n = 20\) nên tứ phân vị thứ nhất là trung vị của dãy số liệu: 42; 47; 50; 55; 55; 57; 59; 60; 61; 63. Do đó, \({Q_1} = \frac{{55 + 57}}{2} = 56\)

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của dãy số liệu: 63; 67; 67; 68; 73; 75; 78; 79; 79; 101. Do đó, \({Q_3} = \frac{{73 + 75}}{2} = 74\).

Khoảng tứ phân vị là: \({\Delta _{{Q_1}}} = 74 - 56 = 18\)

Với mẫu số liệu ghép nhóm: Khoảng biến thiên là: \({R_2} = 110 - 40 = 70\)

Cỡ mẫu \(n = 20\). Giả sử \({x_1},{x_2},...,{x_{20}}\) là số thẻ vàng mà mỗi câu lạc bộ ngoại hạng Anh nhận được mùa giải 2021- 2022, các giá trị này đã được sắp xếp theo thứ tự không giảm.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \(\frac{{{x_5} + {x_6}}}{2}\) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là nhóm \(\left[ {50;60} \right)\) và ta có: \(Q{'_1} = 50 + \frac{{\frac{{20}}{4} - 2}}{5}.10 = 56\)

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \(\frac{{{x_{15}} + {x_{16}}}}{2}\) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là nhóm \(\left[ {70;80} \right)\) và ta có: \(Q{'_3} = 70 + \frac{{\frac{{3.20}}{4} - \left( {2 + 5 + 7} \right)}}{5}.10 = 72\)

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({\Delta _{{Q_2}}} = 72 - 56 = 16\)

Gía trị chính xác là \({R_1};\Delta {Q_1}\), giá trị xấp xỉ là \({R_2};\Delta {Q_2}\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Ta có bảng số liệu với giá trị đại diện của nhóm là:

Thu nhập	[5; 8)	[8; 11)	[11; 14)	[14; 17)	[17; 20)
Giá trị đại diện	6,5	9,5	12,5	15,5	18,5
Số người của nhà máy A	20	35	45	35	20
Số người của nhà máy B	17	23	30	23	17

Mức thu nhập trung bình của người lao động nhà máy A là:

\(\frac{{6,5.20 + 9,5.35 + 12,5.45 + 15,5.35 + 18,5.20}}{{20 + 35 + 45 + 35 + 20}} = \frac{{25}}{2}\) (triệu đồng)

Mức thu nhập trung bình của người lao động nhà máy B là:

\(\frac{{6,5.17 + 9,5.23 + 12,5.30 + 15,5.23 + 18,5.17}}{{17 + 23 + 30 + 23 + 17}} = \frac{{25}}{2}\) (triệu đồng)

Nhà máy A: Ta có cỡ mẫu \(n = 155\). Giả sử \({x_1},{x_2},...,{x_{155}}\) là mức thu nhập của người lao động nhà máy A và giả sử dãy số liệu gốc này đã được sắp xếp theo thứ tự không giảm.

Vì \(\frac{n}{4} = 38,75\) và \(20 < 38,75 < 20 + 35\) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là nhóm \(\left[ {8;11} \right)\) và tứ phân vị thứ nhất là: \({Q_1} = 8 + \frac{{\frac{{155}}{4} - 20}}{{35}}.3 = \frac{{269}}{{28}}\)

Vì \(\frac{{3n}}{4} = 116,25\) và \(20 + 35 + 45 < 116,25 < 20 + 35 + 45 + 35\) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là nhóm \(\left[ {14;17} \right)\) và tứ phân vị thứ ba là: \({Q_3} = 14 + \frac{{\frac{{3.155}}{4} - \left( {20 + 35 + 45} \right)}}{{35}}.3 = \frac{{431}}{{28}}\)

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({\Delta _{{Q_1}}} = \frac{{431}}{{28}} - \frac{{269}}{{28}} = \frac{{81}}{{14}}\)

Nhà máy B: Ta có cỡ mẫu \(n = 110\). Giả sử \({x_1},{x_2},...,{x_{110}}\) là mức thu nhập của người lao động nhà máy B và giả sử dãy số liệu gốc này đã được sắp xếp theo thứ tự không giảm.

Vì \(\frac{n}{4} = 27,5\) và \(17 < 27,5 < 17 + 23\) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là nhóm \(\left[ {8;11} \right)\) và tứ phân vị thứ nhất là: \(Q{'_1} = 8 + \frac{{\frac{{110}}{4} - 17}}{{23}}.3 = \frac{{431}}{{46}}\)

Vì \(\frac{{3n}}{4} = 82,5\) và \(17 + 23 + 30 < 82,5 < 17 + 23 + 30 + 23\) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là nhóm \(\left[ {14;17} \right)\) và tứ phân vị thứ ba là: \({Q_3} = 14 + \frac{{\frac{{3.110}}{4} - \left( {17 + 23 + 30} \right)}}{{23}}.3 = \frac{{719}}{{46}}\)

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({\Delta _{{Q_2}}} = \frac{{719}}{{46}} - \frac{{431}}{{46}} = \frac{{144}}{{23}}\)

Vì \({\Delta _{{Q_1}}} < {\Delta _{{Q_2}}}\) nên mức thu nhập của người lao động nhà máy B biến động nhiều hơn.

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) Lớp 12A: Khoảng biến thiên: \(R = 175 - 145 = 30\)

Ta có cỡ mẫu \(n = 43\). Giả sử \({x_1},{x_2},...,{x_{43}}\) là chiều cao của các học sinh lớp 12A và giả sử dãy số liệu gốc này đã được sắp xếp theo thứ tự không giảm.

Vì \(\frac{n}{4} = 10,75\) và \(1 < 10,75 < 1 + 15\) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là nhóm \(\left[ {150;160} \right)\) và tứ phân vị thứ nhất là: \({Q_1} = 155 + \frac{{\frac{{43}}{4} - 1}}{{15}}.5 = 158,25\)

Vì \(\frac{{3n}}{4} = 32,25\) và \(1 + 15 + 12 < 32,25 < 1 + 15 + 12 + 10\) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là nhóm \(\left[ {165;170} \right)\) và tứ phân vị thứ ba là: \({Q_3} = 165 + \frac{{\frac{{3.43}}{4} - \left( {1 + 15 + 12} \right)}}{{10}}.5 = 167,125\)

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({\Delta _{{Q_1}}} = 167,125 - 158,25 = 8,875\)

Lớp 12B: Khoảng biến thiên: \(R = 175 - 155 = 20\)

Ta có cỡ mẫu \(n = 42\). Giả sử \({x_1},{x_2},...,{x_{42}}\) là chiều cao của các học sinh lớp 12B và giả sử dãy số liệu gốc này đã được sắp xếp theo thứ tự không giảm.

Vì \(\frac{n}{4} = 10,5\) và \(0 < 10,5 < 17\)  nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là nhóm \(\left[ {155;160} \right)\) và ta có: \(Q{'_1} = 155 + \frac{{\frac{{42}}{4} - 0}}{{17}}.5 = \frac{{5375}}{{34}}\)

Vì \(\frac{{3n}}{4} = 31,5\) và \(17 + 10 < 31,5 < 17 + 10 + 9\) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là nhóm \(\left[ {165;170} \right)\) và tứ phân vị thứ ba là: \(Q{'_3} = 165 + \frac{{\frac{{3.42}}{4} - \left( {17 + 10} \right)}}{9}.5 = \frac{{335}}{2}\)

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({\Delta _{{Q_2}}} = \frac{{335}}{2} - \frac{{5375}}{{34}} = \frac{{160}}{{17}}\)

b) Để so sánh độ phân tán về chiều cao của học sinh hai lớp này, ta nên dùng khoảng tứ phân vị vì khoảng tứ phân vị chỉ phụ thuộc vào nửa giữa của mẫu số liệu, không bị ảnh hưởng bởi các giá trị bất thường.

(Trả lời bởi datcoder)