Vẽ tam giác ABC, xác định trung điểm D của cạnh BC và vẽ đoạn thẳng nối hai điểm A và D.
Bài 7. Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác
Hoạt động 1 (SGK Chân trời sáng tạo trang 73)
Thảo luận (1)
Thực hành 1 (SGK Chân trời sáng tạo trang 73)
Em hãy viết tiếp các đường trung tuyến còn lại của tam giác ABC (Hình 1).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải
Vận dụng 1 (SGK Chân trời sáng tạo trang 73)
a) Vẽ đường trung tuyến DH của tam giác DEF (Hình 2).
b) Vẽ đường trung tuyến MK của tam giác MNP (Hình 3).
c) Vẽ tam giác nhọn IJK và tất cả các đường trung tuyến của nó.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải
Hoạt động 2 (SGK Chân trời sáng tạo trang 74,75)
a) Cắt một tam giác bằng giấy. Gấp lại để xác định trung điểm một cạnh của nó. Kẻ đoạn thẳng nối trung điểm này với đỉnh đối diện (Hình 4). Bằng cách tương tự, hãy vẽ tiếp hai đường trung tuyến còn lại.Quan sát tam giác trên hình, em thấy ba đường trung tuyến vừa vẽ có cùng đi qua một điểm hay không.b) Em hãy đếm ô rồi vẽ lại tam giác ABC trong Hình 5 vào giấy kẻ ô vuông. Vẽ hai đường trung tuyến BE và CF của tam giác ABC. Hai đường trung tuyến này cắt nhau tại G. Tia AG cắt BC tại D.Em hãy quan...
Đọc tiếp
a) Cắt một tam giác bằng giấy. Gấp lại để xác định trung điểm một cạnh của nó. Kẻ đoạn thẳng nối trung điểm này với đỉnh đối diện (Hình 4). Bằng cách tương tự, hãy vẽ tiếp hai đường trung tuyến còn lại.
Quan sát tam giác trên hình, em thấy ba đường trung tuyến vừa vẽ có cùng đi qua một điểm hay không.
b) Em hãy đếm ô rồi vẽ lại tam giác ABC trong Hình 5 vào giấy kẻ ô vuông. Vẽ hai đường trung tuyến BE và CF của tam giác ABC. Hai đường trung tuyến này cắt nhau tại G. Tia AG cắt BC tại D.
Em hãy quan sát vào cho biết:
- AD có phải đường trung tuyến của tam giác ABC hay không?
- Các tỉ số \(\dfrac{{BG}}{{BE}}\), \(\dfrac{{CG}}{{CF}}\), \(\dfrac{{AG}}{{AD}}\) bằng bao nhiêu?
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiTham khảo:
a)
- Ta xác định trung điểm 1 cạnh bằng cách gấp sao cho 2 đỉnh của tam giác trùng nhau, khi đó giao của nét gấp đi qua 1 cạnh của tam giác sẽ là trung điểm của cạnh đó
- Rồi từ các trung điểm vừa xác định được ta kẻ các đường trung tuyến của tam giác từ các đỉnh
- Nhận xét : Ta thấy 3 đường trung tuyến trong tam giác này đều sẽ đi qua 1 điểm
b)
- Ta nối dài đoạn AG sao cho AG cắt BC tại 1 điểm
- Ta thấy điểm giao nhau giữa AG và BC chính là trung điểm của BC
- Nên AG là trung tuyến của tam giác ABC
- Ta sẽ sử dụng số đo dựa trên các ô để xét tỉ số giữa các đoạn thẳng
\(\dfrac{{BG}}{{BE}} = \dfrac{2}{3};\dfrac{{CG}}{{CF}} = \dfrac{4}{6};\dfrac{{AG}}{{AD}} = \dfrac{{4.4}}{{6.6}}\)
- Ta thấy sau khi rút gọn các tỉ số ta có :
\(\dfrac{{BG}}{{BE}} = \dfrac{{CG}}{{CF}} = \dfrac{{AG}}{{AD}} = \dfrac{2}{3}\)
(Trả lời bởi Kiều Sơn Tùng)
Thực hành 2 (SGK Chân trời sáng tạo trang 74,75)
Trong Hình 7, G là trọng tâm của tam giác AEF với đường trung tuyến AM.
Hãy tính các tỉ số:
a) \(\dfrac{{GM}}{{AM}}\)
b) \(\dfrac{{GM}}{{AG}}\)
c) \(\dfrac{{AG}}{{GM}}\)
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Vì G là trọng tâm của tam giác AEF với đường trung tuyến AM nên theo định lí 3 đường trung tuyến cắt nhau tại trọng tâm ta có :
\(\dfrac{{AG}}{{AM}} = \dfrac{2}{3}\)\( \Rightarrow \dfrac{{GM}}{{AM}} = 1 - \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3}\)
b) Vì \(\dfrac{{AG}}{{AM}} = \dfrac{2}{3}\) và \(\dfrac{{GM}}{{AM}} = \dfrac{1}{3}\)(theo câu a)
\( \Rightarrow \dfrac{{GM}}{{AG}} = \dfrac{1}{2}\)
c) Vì \(\dfrac{{GM}}{{AG}} = \dfrac{1}{2}\)(chứng minh b)
\( \Rightarrow \dfrac{{AG}}{{GM}} = 2\)
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Vận dụng 2 (SGK Chân trời sáng tạo trang 74,75)
Cho tam giác ABC có O là trung điểm của BC, trên tia đối của tia OA, lấy điểm D sao cho OA = OD. Gọi I và J lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và BCD. Chứng minh rằng AI = IJ = JD.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiTham khảo:
Vì I là trọng tâm tam giác ABC theo giả thiết nên ta có
\(AI = \dfrac{2}{3}AO = 2IO\)(định lí về trọng tâm trong tam giác)
Tương tự J là trọng tâm tam giác BCD nên ta có :
\(DJ = \dfrac{2}{3}OD = 2OJ\) (định lí về trọng tâm trong tam giác)
Mà OA = OD (giả thiết)
\( \Rightarrow AI = DJ = \dfrac{2}{3}OA = \dfrac{2}{3}OD = 2OI = 2OJ\)
Mà OI = OJ do cùng \( = \dfrac{1}{3}OA = \dfrac{1}{3}OD\)(tính chất trọng tâm trong tam giác)
\( \Rightarrow 2OI = 2OJ = 2\dfrac{1}{3}AO = 2\dfrac{1}{3}OD = IJ\)
\( \Rightarrow AI = DJ = IJ = \dfrac{2}{3}OA = \dfrac{2}{3}OD\)(điều phải chứng minh)
(Trả lời bởi Kiều Sơn Tùng)
Bài 1 (SGK Chân trời sáng tạo trang 75)
Quan sát Hình 8.
Tìm số thích hợp để ghi vào chỗ chấm trong các đẳng thức sau:
\(\begin{array}{l}EG = ...EM;\,\,\,GM = ...EM;\,\,\,\,GM = ...EG\\FG = ...GN;\,\,\,\,\,FN = ...GN;\,\,\,\,\,FN = ...FG\end{array}\)
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải\(\begin{array}{l}EG = \dfrac{2}{3}EM;\,\,\,GM = \dfrac{1}{3}EM;\,\,\,\,GM = \dfrac{1}{2}EG\\FG = 2GN;\,\,\,\,\,FN = 3GN;\,\,\,\,\,\,\,FN = \dfrac{3}{2}FG\end{array}\)
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Bài 2 (SGK Chân trời sáng tạo trang 75)
Quan sát Hình 9
a) Biết AM = 15 cm, tính AG
b) Biết GN = 6 cm, tính CN
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Theo đề bài ta có AM = 15 cm
Mà CN và AM là 2 trung tuyến của tam giác ABC
AM cắt CN tại G nên G là trọng tâm tam giác ABC
\( \Rightarrow AG = \dfrac{2}{3}AM\)(định lí về trọng tâm tam giác)
\( \Rightarrow AG = \dfrac{2}{3}\,15cm = 10cm\)
b) Vì G là trọng tâm tam giác ABC
\( \Rightarrow CG = \dfrac{2}{3}CN\)(theo tính chất của trung tuyến đi qua trọng tâm)
Mà \(CG + GN = CN\) nên ta có \(GN = CN - CG = CN - \dfrac{2}{3}CN = \dfrac{1}{3}CN\)
Theo giả thiết GN = 6cm ta có
\( \Rightarrow CN = 3GN = 3.6cm = 18cm\)
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Bài 3 (SGK Chân trời sáng tạo trang 75)
Cho tam giác ABC. Hai đường trung tuyến AM và CN cắt nhau tại G. Trên tia đối của tia AM lấy điểm E sao cho ME = MG.
a) Chứng minh rằng BG song song với EC.
b) Gọi I là trung điểm của BE, AI cắt BG tại F. Chứng minh rằng AF = 2FI
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiTham khảo:
a) Xét tam giác BGM và tam giác CEM có :
\(\widehat {GMB} = \widehat {EMC}\)(2 góc đối đỉnh)
GM = ME (do G đối xứng E qua M)
MB = MC (do M là trung điểm của BC)
\( \Rightarrow \Delta BGM = \Delta CEM(c - g - c)\)
\( \Rightarrow \widehat {GBM} = \widehat {MCE}\)(2 góc tương ứng bằng nhau)
Mà 2 góc trên ở vị trí so le trong nên BG⫽CE
b) Vì I là trung điểm BE nên AI sẽ là trung tuyến của tam giác ABE
Và BG cũng là trung tuyến của tam giác ABE do G là trung điểm AE
Vì BG cắt AI tại F nên F sẽ là trọng tâm của tam giác ABE
\(\, \Rightarrow AF = \dfrac{2}{3}AI\)(định lí về trọng tâm tam giác)
Mà AI = AF + FI \( \Rightarrow \) FI = AI – AF
\( \Rightarrow FI = AI - \dfrac{2}{3}AI = \dfrac{1}{3}AI\)
\( \Rightarrow 2FI = AF = \dfrac{2}{3}AI\)
\( \Rightarrow \) AF = 2 FI
(Trả lời bởi Kiều Sơn Tùng)
Bài 4 (SGK Chân trời sáng tạo trang 75)
Cho tam giác ABC cân tại A có BM và CN là hai đường trung tuyến.
a) Chứng minh rằng BM = CN
b) Gọi I là giao điểm của BM và CN, đường thẳng AI cắt BC tại H. Chứng minh H là trung điểm của BC
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiTham khảo:
a) Vì tam giác ABC cân tại A theo giả thiết. BM và CN là 2 đường trung tuyến nên M, N là 2 trung điểm của AC, AB.
Vì AB = AC (tính chất tam giác cân)
\( \Rightarrow \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{{AC}}{2} = AN = AM\)
Xét tam giác AMB và tam giác ANC ta có :
AM = AN (cmt)
AB = AC
Góc A chung
\( \Rightarrow \Delta AMB =\Delta ANC\)
\( \Rightarrow BM = CN\) ( 2 cạnh tương ứng )
b) Vì BM và CN là các đường trung tuyến
Mà I là giao điểm của BM và CN
\( \Rightarrow \) I là trọng tâm của tam giác ABC
\( \Rightarrow \) AI là đường trung tuyến của tam giác ABC hay AH đường là trung tuyến của tam giác ABC
\( \Rightarrow \) H là trung điểm của BC
(Trả lời bởi Kiều Sơn Tùng)
