Cho điểm A không nằm trên đường thẳng d.
a) Hãy vẽ đường vuông góc AH và một đường xiên AM từ A đến d.
b) Em hãy giải thích vì sao AH < AM
Bài 32. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên
Câu hỏi (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống trang 63,64)
Thảo luận (1)
Luyện tập (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống trang 63,64)
Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng 2 cm, M là một điểm trên cạnh BC như Hình 9.10
a) Hãy chỉ ra các đường vuông góc và đường xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng BC.
b) So sánh hai đoạn thẳng AB và AM.
c) Tìm khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng AB.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Đường vuông góc kẻ từ A đến BC là: AB
Đường xiên kẻ từ A đến BC là: AM
b) AB < AM (Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ 1 điểm nằm ngoài 1 đường thẳng đến đường thẳng đó thì đường vuông góc là đường ngắn nhất.)
c) Vì CB \( \bot \) AB nên khoảng cách từ C đến AB là độ dài CB = 2 cm
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Vận dụng (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống trang 63,64)
Tình huống mở đầu
Bạn Nam tập bơi ở một bể bơi hình chữ nhật, trong đó có ba đường bơi OA, OB, OC. Biết rằng OA vuông góc với cạnh của bể bơi (H.9.8)
Nếu xuất phát từ điểm O và bơi cùng tốc độ, để bơi sang bờ bên kia nhanh nhất thì bạn Nam nên chọn đường bơi nào?
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiTrong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ O đến bờ bên kia của bể bơi thì OA là đường vuôn góc nên ngắn nhất (Định lí)
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Thử thách nhỏ (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống trang 63,64)
a) Quan sát hình 9.11, ta thấy khi M thay đổi trên d, M càng xa H thì AM càng lớn lên, tức là nếu HM HN thì AM AN. Hãy chứng minh khẳng định này nhờ quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác AMN.b) Xét hình vuông ABCD và một điểm M tùy ý nằm trên các cạnh của hình vuông. Hỏi với vị trí nào của M thì AM lớn nhất? Vì sao?
Đọc tiếp
a) Quan sát hình 9.11, ta thấy khi M thay đổi trên d, M càng xa H thì AM càng lớn lên, tức là nếu HM < HN thì AM < AN. Hãy chứng minh khẳng định này nhờ quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác AMN.
b) Xét hình vuông ABCD và một điểm M tùy ý nằm trên các cạnh của hình vuông. Hỏi với vị trí nào của M thì AM lớn nhất? Vì sao?
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải+) TH1:
M nằm giữa H và N:
Vì góc AMN là góc ngoài tại đỉnh M của tam giác AHM nên hay là góc tù.
Xét tam giác AMN có là góc tù nên là góc lớn nhất trong tam giác. Cạnh AN đối diện với nên là cạnh lớn nhất trong tam giác ( định lí)
Vậy AM < AN
+) TH2:
H nằm giữa M và N:
Lấy điểm M’ trên d sao cho HM’ = HM. Ta được AH là đường trung trực của đoạn thẳng MM’ nên AM = AM’ ( tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)
Hơn nữa, AM’ < AN ( theo trường hợp 1)
AM < AN
Vậy AM < AN.
b)
Theo câu a, khi M thay đổi trên BC, M càng xa B thì AM càng lớn. Khi M trùng C thì M xa B nhất nên khi đó AM là lớn nhất.
(Trả lời bởi Kiều Sơn Tùng)
Bài 9.6 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống trang 65)
Chiều cao của tam giác ứng với một cạnh của nó có phải là khoảng cách từ đỉnh đối diện đến đường thẳng chứa cạnh đó không?
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiCó vì chiều cao của tam giác ứng với một cạnh là đường vuông góc kẻ từ đỉnh đến cạnh đối diện nên là khoảng cách từ đỉnh đối diện đến đường thẳng chứa cạnh đối diện.
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Bài 9.7 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống trang 65)
Cho hình vuông ABCD. Hỏi trong bốn đỉnh của hình vuông
a) Đỉnh nào cách đều hai điểm A và C?
b) Đỉnh nào cách đều hai đường thẳng AB và AD?
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải
Vì ABCD là hình vuông nên AB = BC = CD = DA ( tính chất)
a) Ta có: +) BA = BC nên đỉnh B cách đều hai điểm A và C
+) DA = DC nên đỉnh D cách đều hai điểm A và C
Vậy đỉnh B và D cách đều hai điểm A và C
b) +) Vì CB = CD nên khoảng cách từ C đến 2 đường thẳng AB và AD bằng nhau. Do đó đỉnh C cách đều 2 đường thẳng AB và AD.
+) Khoảng cách từ A đến AB bằng khoảng cách từ A đến AD ( bằng 0) nên A cách đều hai đường thẳng AB và AD.
Vậy đỉnh C và đỉnh A cách đều hai đường thẳng AB và AD.
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Bài 9.8 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống trang 65)
Cho tam giác cân ABC, AB = AC. Lấy điểm M tùy ý nằm giữa B và C. ( H. 9.12)
a) Khi M thay đổi thì độ dài AM thay đổi. Xác định vị trí của điểm M để độ dài AM nhỏ nhất.
b) Chứng minh rằng với mọi điểm M thì AM < AB
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải
Kẻ AH BC.
a) Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ A điểm nằm ngoài đường thẳng BC đến đường thẳng BC thì đường vuông góc là đường ngắn nhất nên AM ngắn nhất khi M trùng H hay M là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC.
b) Cách 1:
+) Khi M trùng H thì AH < AB ( đường vuông góc luôn nhỏ hơn đường xiên)
+) Khi M nằm giữa B và H
Góc AMB là góc ngoài tại đỉnh M của tam giác AHM nên \(\widehat{AMB}>\widehat{AHM}= 90^0\) nên \(\widehat{AMB}\) là góc tù nên là góc lớn nhất trong tam giác ABM.
Trong tam giác ABM, cạnh AB đối diện với góc lớn nhất nên cạnh AB lớn nhất (định lí). Do đó AM < AB.
+) Khi M nằm giữa C và H
Góc AMC là góc ngoài tại đỉnh M của tam giác AHM nên \(\widehat{AMC}>\widehat{AHM}= 90^0\) nên \(\widehat{AMC}\) là góc tù nên là góc lớn nhất trong tam giác ACM
Trong tam giác ACM, cạnh AC đối diện với góc lớn nhất nên cạnh AC lớn nhất (định lí). Do đó AM < AC.
Mà AB = AC (gt)
\(\Rightarrow \) AM < AB
Vậy AM < AB
Cách 2:
Theo thử thách nhỏ trang 64, khi M thay đổi trên BC, M càng xa H thì AM càng lớn lên. Tuy nhiên, M nằm giữa B và C nên AM không vượt quá AB. Như vậy, AM < AB
(Trả lời bởi Kiều Sơn Tùng)
Bài 9.9 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống trang 65)
Cho tam giác ABC vuông tại A. Hai điểm M, N theo thứ tự nằm trên các cạnh AB, AC ( M,N không phải là đỉnh của tam giác) (H. 9.13) . Chứng minh rằng MN < BC.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiTa có: Góc NMB là góc ngoài tại đỉnh M của tam giác AMN nên góc NMB là góc tù.
Góc BNC là góc ngoài tại đỉnh N của tam giác ABN nên góc BNC là góc tù.
Xét tam giác MNB có góc NMB là góc tù nên là góc lớn nhất trong tam giác. Cạnh NB đối diện với góc NMB nên là cạnh lớn nhất trong tam giác. Ta được NM < NB.(1)
Xét tam giác CNB có góc BNC là góc tù nên là góc lớn nhất trong tam giác. Cạnh CB đối diện với góc BNC nên là cạnh lớn nhất trong tam giác. Ta được NB < CB.(2)
Từ (1) và (2) ta được NM < CB.
Vậy MN < BC.
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)