Giải bài tập Sách Giáo Khoa - Bài 2 Cộng, trừ và nhân số phức - Toán 12

Bài 2 (SGK trang 136)

Tính $\alpha+\beta;\alpha-\beta$ với :

a) $\alpha=3;\beta=2i$

b) $\alpha=1-2i;\beta=6i$

c) $\alpha=5i;\beta=-7i$

d) $\alpha=15;\beta=4-2i$

Hướng dẫn giải

a) α + β = 3 + 2i, α - β = 3 - 2i

b) α + β = 1 + 4i α - β = 1 - 8i

c) α + β = -2i, α - β = 12i

d) α + β = 19 - 2i α - β = 11 + 2i

(Trả lời bởi Nguyễn Bảo Trung)

Thảo luận (1)

Bài 3 (SGK trang 136)

Thực hiện các phép tính sau :

a) $\left(3-2i\right)\left(2-3i\right)$

b) $\left(-1+i\right)\left(3+7i\right)$

c) $5\left(4+3i\right)$

d) $\left(-2-5i\right)4i$

Hướng dẫn giải

a) (3 - 2i)(2 - 3i) = (6 - 6) + (-9 -4)i = -13i;

b) (-1 + i)(3 + 7i) = (-3 - 7) + (-7 + 3)i = -10 -4i;

c) 5(4 + 3i) = 20 + 15i;

d) (-2 - 5i).4i = -8i - 20i² = -8i -20(-1) = 20 - 8i

(Trả lời bởi Nguyễn Bảo Trung)

Thảo luận (1)

Bài 4 (SGK trang 136)

Tính : $i^3,i^4,i^5$

Nêu cách tính $i^n$ với n là một số tự nhiên tùy ý ?

Hướng dẫn giải

i³ = i² .i = -i; i⁴ = i² .i²= (-1)(-1) = 1; i⁵ = i⁴ .i = i

Nếu n = 4q + r, 0 ≤ r < 4 thì

1) iⁿ = i^r = i nếu r = 1

2) iⁿ = i^r = -1 nếu r = 2

3) iⁿ = i^r = -i nếu r = 3

4) iⁿ = i^r = 1 nếu r = 4

(Trả lời bởi Nguyễn Bảo Trung)

Thảo luận (1)

Bài 5 (SGK trang 136)

Tính :

a) $\left(2+3i\right)^2$

b) $\left(2+3i\right)^3$

Hướng dẫn giải

a) (2 + 3i)² = 4 + 12i + (3i)² = -5 + 12i;

b) (2 + 3i)³ = 8 + 3.4.3i + 3.2(3i)² + (3i)³ = 8 + 36i - 54 - 27i = -46 + 9i.

(Trả lời bởi Nguyễn Bảo Trung)

Thảo luận (1)

Bài 1 (SGK trang 138)

Thực hiện các phép chia sau :

a) $\dfrac{2+i}{3-2i}$

b) $\dfrac{1+i\sqrt{2}}{2+i\sqrt{3}}$

c) $\dfrac{5i}{2-3i}$

d) $\dfrac{5-2i}{i}$

Hướng dẫn giải

a) $\frac{2+i}{3-2i}$ $=\frac{(2+i)(3+2i)}{13}=\frac{4}{13}+\frac{7}{13}i$ .

b) $\frac{1+i\sqrt{2}}{2+i\sqrt{3}}$ $=\frac{(1+i\sqrt{2})(2-i\sqrt{3})}{7}=\frac{2+\sqrt{6}}{7}+\frac{2\sqrt{2}-\sqrt{3}}{7}i$

c) $\frac{5i}{2-3i}$ $=\frac{5i(2+3i)}{13}=-\frac{15}{13}+\frac{10}{13}i$

d) $\frac{5-2i}{i}$ = (5 - 2i)(-i) = -2 - 5i

(Trả lời bởi Nguyễn Bảo Trung)

Thảo luận (1)

Bài 2 (SGK trang 138)

Tìm nghịch đảo $\dfrac{1}{z}$ của số phức $z$ , biết :

a) $z=1+2i$

b) $z=\sqrt{2}-3i$

c) $z=i$

d) $z=5+i\sqrt{3}$

Hướng dẫn giải

a) $\frac{1}{1+2i}=\frac{1-2i}{5}=\frac{1}{5}-\frac{2}{5}i.$

b) $\frac{1}{\sqrt{2}-3i}=\frac{\sqrt{2}+3i}{(\sqrt{2})^{2}+(-3)^{2}}=\frac{\sqrt{2}}{11}+\frac{3}{11}i$

c) $\frac{1}{i}=\frac{-i}{1}=-i$
d) $\frac{1}{5+i\sqrt{3}}=\frac{5-i\sqrt{3}}{5^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=\frac{5}{28}-\frac{\sqrt{3}}{28}i$ (Trả lời bởi Nguyễn Bảo Trung)

Thảo luận (1)

Bài 3 (SGK trang 138)

Thực hiện các phép tính sau :

a) $2i\left(3+i\right)\left(2+4i\right)$

b) $\dfrac{\left(1+i\right)^2\left(2i\right)^3}{-2+i}$

c) $3+2i+\left(6+i\right)\left(5+i\right)$

d) $4-3i+\dfrac{5+4i}{3+6i}$

Hướng dẫn giải

a) 2i(3 + i)(2 + 4i) = 2i(2 + 14i) = -28 + 4i

b) $\frac{(1+i)^{2}(2i)^{3}}{-2+i}$ $=\frac{2i(-8i)}{-2+i}=\frac{16(-2-i)}{5}=-\frac{32}{5}-\frac{16}{5}i$

c) 3 + 2i + (6 + i)(5 + i) = 3 + 2i + 29 + 11i = 32 + 13i

d) 4 - 3i + $\frac{5+4i}{3+6i}$ = 4 - 3i + $\frac{(5+4i)(3-6i)}{45}$ = 4 - 3i + $\frac{39}{45}-\frac{18}{45}i$

= (4 + $\frac{39}{45}$ ) - (3 + $\frac{18}{45}$ )i = $\frac{219}{45}-\frac{153}{45}i$

(Trả lời bởi Nguyễn Bảo Trung)

Thảo luận (1)

Bài 4 (SGK trang 138)

Giải các phương trình sau :

a) $\left(3-2i\right)z+\left(4+5i\right)=7+3i$

b) $\left(1+3i\right)z-\left(2+5i\right)=\left(2+i\right)z$

c) $\dfrac{z}{4-3i}+\left(2-3i\right)=5-2i$

Hướng dẫn giải

a) Ta có (3 - 2i)z + (4 + 5i) = 7 + 3i <=> (3 - 2i)z = 7 + 3i - 4 - 5i

<=> z = $\frac{3-2i}{3-2i}$ <=> z = 1. Vậy z = 1.

b) Ta có (1 + 3i)z - (2 + 5i) = (2 + i)z <=> (1 + 3i)z -(2 + i)z = (2 + 5i)

<=> (1 + 3i - 2 - i)z = 2 + 5i <=> (-1 + 2i)z = 2 + 5i

z = $\frac{2 + 5i}{-1+2i}=\frac{(2+5i)(-1-2i)}{5}=\frac{-2-4i-5i-10i^{2}}{5}=\frac{8-9i}{5}=\frac{8}{5}-\frac{9}{5}i$

Vậy z = $\frac{8}{5}-\frac{9}{5}i$

c) Ta có $\frac{z}{4-3i}$ + (2 - 3i) = 5 - 2i <=> $\frac{z}{4-3i}$ = 5 - 2i - 2 + 3i

<=> z = (3 + i)(4 - 3i) <=> z = 12 + 3 + (-9 + 4)i <=> z = 15 -5i

(Trả lời bởi Nguyễn Bảo Trung)