Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ

Hướng dẫn giải

Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {BC} \) và \(\overrightarrow {BD} \) là góc CBD và số đo \(\widehat {CBD} = {30^o}\).

Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {DA} \) và \(\overrightarrow {DB} \) là góc ADB.

 Ta có: \(\widehat {ACB} = \widehat {CBD} + \widehat {CDB}\) (tính chất góc ngoài)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \widehat {CDB} = {80^o} - {30^o} = {50^o}\\ \Leftrightarrow \widehat {ADB} = {50^o}\end{array}\)

Vậy số đo góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {BC} \) và \(\overrightarrow {BD} \), \(\overrightarrow {DA} \) và \(\overrightarrow {DB} \) lần lượt là \({30^o},{50^o}\)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Góc giữa hai vectơ bằng \({0^o}\) nếu chúng cùng hướng

Góc giữa hai vectơ bằng \({180^o}\) nếu chúng ngược hướng.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Tham khảo:

Lấy điểm D sao cho: \(\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {BC} \)

Khi đó ta có: \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right) = \widehat {BAD}\)

Dễ thấy ABCD là hình bình hành (hơn nữa còn là hình thoi) nên \(\widehat {BAD} = {180^o} - \widehat {ABC} = {120^o}\)

Vậy số đo góc \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right)\) là \({120^o}\).

(Trả lời bởi Kiều Sơn Tùng)

Hướng dẫn giải

Tham khảo:

Dễ thấy: \(\overrightarrow u .\;\overrightarrow v \) cùng dấu với \(\cos \;\left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right)\) (do \(\left| {\overrightarrow u } \right|.\;\left| {\overrightarrow v } \right| > 0\)). Do đó:

+) \(\overrightarrow u .\;\overrightarrow v \;\; > 0\)  \( \Leftrightarrow \cos \;\left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) > 0\) hay \({0^o} \le \left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) < {90^o}\)

+) \(\overrightarrow u .\;\overrightarrow v \;\; < 0\) \( \Leftrightarrow \cos \;\left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right)\;\; < 0\) hay \({90^o} < \left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) \le {180^o}\)

Vậy \(\overrightarrow u .\;\overrightarrow v \;\; > 0\)  nếu \({0^o} \le \left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) < {90^o}\) và \(\overrightarrow u .\;\overrightarrow v \;\; < 0\) nếu \({90^o} < \left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) \le {180^o}.\)

(Trả lời bởi Kiều Sơn Tùng)

Hướng dẫn giải

\({\left( {\overrightarrow u .\;\overrightarrow v } \right)^2} = {\left( {\overrightarrow u } \right)^2}.{\left( {\overrightarrow v } \right)^2}\)\( \Leftrightarrow {\left[ {\left| {\overrightarrow u } \right|.\;\left| {\overrightarrow v } \right|.\cos \;\left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right)} \right]^2} = {\left| {\overrightarrow u } \right|^2}.{\left| {\overrightarrow v } \right|^2}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left[ {\cos \;\left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right)} \right]^2} = 1\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos \;\left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) = 1\\\cos \;\left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) =  - 1\end{array} \right.\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\;\left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) = {0^o}\\\left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) = {180^o}\end{array} \right.\) 

Hay hai vectơ \(\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v \) cùng phương.

Vậy hai vectơ \(\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v \) cùng phương thì \({\left( {\overrightarrow u .\;\overrightarrow v } \right)^2} = {\left( {\overrightarrow u } \right)^2}.{\left( {\overrightarrow v } \right)^2}\)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Ta có: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)\)

Mà \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \widehat {BAC}\)\( \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \cos \widehat {BAC}\)

Lại có: \(\cos \widehat {BAC} = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\)(suy ra từ định lí cosin)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = AB.AC.\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = c.b.\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{2}\end{array}\)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) Vì \(\overrightarrow u  = \overrightarrow 0 \) nên \(\overrightarrow u \) vuông góc với mọi \(\overrightarrow v \).

Như vậy \(\overrightarrow u .\overrightarrow v  = 0\)

Mặt khác: \(\overrightarrow u  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow x = y = 0\)

\( \Rightarrow k\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = 0 = \overrightarrow u .\overrightarrow v \)

b) Vì \(\overrightarrow u  \ne \overrightarrow 0 \) và \(k \ge 0\) nên \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \)cùng hướng.

\( \Rightarrow \;\left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) = {0^o} \Leftrightarrow \cos \;\left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) = 1\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow u .\;\overrightarrow v  = \left| {\overrightarrow u } \right|.\;\left| {\overrightarrow v } \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} .\sqrt {{{\left( {kx} \right)}^2} + {{\left( {ky} \right)}^2}} \\ = \sqrt {{x^2} + {y^2}} .\left| k \right|.\sqrt {{x^2} + {y^2}}  = k\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\end{array}\)

(|k|= k do k > 0)

c) Vì \(\overrightarrow u  \ne \overrightarrow 0 \) và \(k < 0\) nên \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \)ngược hướng.

\( \Rightarrow \;\left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) = {180^o} \Leftrightarrow \cos \;\left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) =  - 1\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow u .\;\overrightarrow v  =  - \left| {\overrightarrow u } \right|.\;\left| {\overrightarrow v } \right| =  - \sqrt {{x^2} + {y^2}} .\sqrt {{{\left( {kx} \right)}^2} + {{\left( {ky} \right)}^2}} \\ =  - \sqrt {{x^2} + {y^2}} .\left| k \right|.\sqrt {{x^2} + {y^2}}  = k\left( {{x^2} + {y^2}} \right).\end{array}\)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) Vì \(\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow u  = (x;y)\) nên A(x; y).

Tương tự: do \(\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow v  = \left( {x'y'} \right)\) nên B (x’; y’)

b) Ta có: \(\overrightarrow {OA}  = (x;y) \Rightarrow O{A^2} = {\left| {\overrightarrow {OA} } \right|^2} = {x^2} + {y^2}.\)

Và \(\overrightarrow {OB}  = (x'y') \Rightarrow O{B^2} = {\left| {\overrightarrow {OB} } \right|^2} = x{'^2} + y{'^2}.\)

Lại có: \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {OB}  - \overrightarrow {OA}  = \left( {x'y'} \right) - \left( {x;y} \right) = \left( {x' - x;y' - y} \right)\)

\( \Rightarrow A{B^2} = {\left| {\overrightarrow {AB} } \right|^2} = {\left( {x' - x} \right)^2} + {\left( {y' - y} \right)^2}.\)

c) Theo định lí cosin trong tam giác OAB ta có:

\(\cos \widehat O = \frac{{O{A^2} + O{B^2} - A{B^2}}}{{2.OA.OB}}\)

Mà \(\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB}  = \left| {\overrightarrow {OA} } \right|.\left| {\overrightarrow {OB} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right) = OA.OB.\cos \widehat O\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB}  = OA.OB.\frac{{O{A^2} + O{B^2} - A{B^2}}}{{2.OA.OB}} = \frac{{O{A^2} + O{B^2} - A{B^2}}}{2}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB}  = \frac{{{x^2} + {y^2} + x{'^2} + y{'^2} - {{\left( {x' - x} \right)}^2} - {{\left( {y' - y} \right)}^2}}}{2}\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB}  = \frac{{ - \left( { - 2x'.x} \right) - \left( { - 2y'.y} \right)}}{2} = x'.x + y'.y\end{array}\)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

 Ta có: \(\overrightarrow u  = \left( {0; - 5} \right),\;\overrightarrow v  = \left( {\sqrt 3 ;1} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow u .\;\,\overrightarrow v  = 0.\sqrt 3  + \left( { - 5} \right).1 =  - 5.\)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(\overrightarrow u  = ({x_1};{y_1}),\;\overrightarrow v  = ({x_2};{y_2}),\;\overrightarrow w  = ({x_3};{y_3}).\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow v  + \overrightarrow w  = ({x_2};{y_2}) + ({x_3};{y_3}) = \left( {{x_2} + {x_3};{y_2} + {y_3}} \right)\\ \Rightarrow \overrightarrow u .\left( {\overrightarrow v  + \overrightarrow w } \right) = {x_1}.\left( {{x_2} + {x_3}} \right) + {y_1}.\left( {{y_2} + {y_3}} \right)\end{array}\)

Và: \(\;\overrightarrow u .\overrightarrow v  + \overrightarrow u .\overrightarrow w  = \left( {{x_1}.{x_2} + {y_1}.{y_2}} \right) + \left( {{x_1}.{x_3} + {y_1}.{y_3}} \right)\)\( = {x_1}.{x_2} + {y_1}.{y_2} + {x_1}.{x_3} + {y_1}.{y_3}.\)

b) Vì \({x_1}.{x_2} + {y_1}.{y_2} + {x_1}.{x_3} + {y_1}.{y_3}\)\( = \left( {{x_1}.{x_2} + {x_1}.{x_3}} \right) + \left( {{y_1}.{y_2} + {y_1}.{y_3}} \right)\)\( = {x_1}.\left( {{x_2} + {x_3}} \right) + {y_1}.\left( {{y_2} + {y_3}} \right)\)

Nên \(\overrightarrow u .\left( {\overrightarrow v  + \overrightarrow w } \right) = \;\overrightarrow u .\overrightarrow v  + \overrightarrow u .\overrightarrow w \)

c) Ta có: \(\overrightarrow u  = ({x_1};{y_1}),\;\overrightarrow v  = ({x_2};{y_2})\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow u .\overrightarrow v  = {x_1}.{x_2} + {y_1}.{y_2}\\\overrightarrow v .\overrightarrow u  = {x_2}.{x_1} + {y_2}.{y_1}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \;\overrightarrow u .\overrightarrow v  = \overrightarrow v .\overrightarrow u \)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)