Bài 1. Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn

Hướng dẫn giải

a. Điều kiện xác định của phương trình \(\frac{{2x + 1}}{{2x}} = 1 - \frac{2}{{x - 3}}\) là \(2x \ne 0\) và \(x - 3 \ne 0\) hay \(x \ne 0\) và \(x \ne 3\).

b.

+ Mẫu thức chung của phương trình là: \(2x\left( {x - 3} \right)\).

+ Quy đồng mẫu thức: \(\frac{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{2x\left( {x - 3} \right)}} = \frac{{2x\left( {x - 3} \right)}}{{2x\left( {x - 3} \right)}} - \frac{{4x}}{{2x\left( {x - 3} \right)}}\).

+ Khử mẫu: \(\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 3} \right) = 2x\left( {x - 3} \right) - 4x\).

c. Giải phương trình:\(\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 3} \right) = 2x\left( {x - 3} \right) - 4x\).

                                  \(\begin{array}{l}2{x^2} - 6x + x - 3 = 2{x^2} - 6x - 4x\\2{x^2} - 6x + x - 3 - 2{x^2} + 6x + 4x = 0\\5x - 3 = 0\end{array}\)

                                   \(x = \frac{3}{5}\).

d. Ta thấy \(x = \frac{3}{5}\) thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định của phương trình \(\frac{{x - 8}}{{x - 7}} = 8 + \frac{1}{{1 - x}}\)  là \(x - 7 \ne 0\) và \(1 - x \ne 0\) hay \(x \ne 7\) và \(x \ne 1\).

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a. \(\frac{1}{x} = \frac{5}{{3\left( {x + 2} \right)}}\)

Điều kiện xác định: \(x \ne 0\) và \(x \ne  - 2\).

\(\frac{1}{x} = \frac{5}{{3\left( {x + 2} \right)}}\)

\(\begin{array}{l}\frac{{3\left( {x + 2} \right)}}{{3x\left( {x + 2} \right)}} = \frac{5}{{3x\left( {x + 2} \right)}}\\3\left( {x + 2} \right) = 5\\3x + 6 - 5 = 0\\3x + 1 = 0\end{array}\)

\(x = \frac{{ - 1}}{3}\) .

Ta thấy \(x =  - \frac{1}{3}\) thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x =  - \frac{1}{3}\).

b. \(\frac{x}{{2x - 1}} = \frac{{x - 2}}{{2x + 5}}\)

Điều kiện xác định: \(x \ne \frac{1}{2}\) và \(x \ne  - \frac{5}{2}\).

\(\frac{x}{{2x - 1}} = \frac{{x - 2}}{{2x + 5}}\)

\(\begin{array}{l}\frac{{x\left( {2x + 5} \right)}}{{\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 5} \right)}} = \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {2x - 1} \right)}}{{\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 5} \right)}}\\x\left( {2x + 5} \right) = \left( {x - 2} \right)\left( {2x - 1} \right)\\2{x^2} + 5x = 2{x^2} - x - 4x + 2\\2{x^2} + 5x - 2{x^2} + x + 4x - 2 = 0\\10x - 2 = 0\end{array}\)

\(x = \frac{1}{5}\).

Ta thấy \(x = \frac{1}{5}\) thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.

Vậy \(x = \frac{1}{5}\) là nghiệm của phương trình đã cho.

c. \(\frac{{5x}}{{x - 2}} = 7 + \frac{{10}}{{x - 2}}\)

Điều kiện xác định: \(x \ne 2\).

\(\frac{{5x}}{{x - 2}} = 7 + \frac{{10}}{{x - 2}}\)

\(\begin{array}{l}\frac{{5x}}{{x - 2}} = \frac{{7\left( {x - 2} \right)}}{{x - 2}} + \frac{{10}}{{x - 2}}\\5x = 7x - 14 + 10\\5x - 7x + 14 - 10 = 0\\2x + 4 = 0\end{array}\)

\(x =  - 2\).

Ta thấy \(x =  - 2\) thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.

Vậy \(x =  - 2\) là nghiệm của phương trình đã cho.

d. \(\frac{{{x^2} - 6}}{x} = x + \frac{3}{2}\)

Điều kiện xác định: \(x \ne 0\).

\(\frac{{{x^2} - 6}}{x} = x + \frac{3}{2}\)

\(\begin{array}{l}\frac{{2\left( {{x^2} - 6} \right)}}{{2x}} = \frac{{2{x^2}}}{{2x}} + \frac{{3x}}{{2x}}\\2\left( {{x^2} - 6} \right) = 2{x^2} + 3x\\2{x^2} - 12 = 2{x^2} + 3x\\2{x^2} - 12 - 2{x^2} - 3x = 0\\ - 3x - 12 = 0\end{array}\)

\(x =  - 4\).

Ta thấy \(x =  - 4\) thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.

Vậy \(x =  - 4\) là nghiệm của phương trình đã cho.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định: \(x \ne 2\) và \(x \ne 3\)

\(\frac{x}{{x - 2}} + \frac{1}{{x - 3}} = \frac{2}{{\left( {2 - x} \right)\left( {x - 3} \right)}}\)

\(\begin{array}{l}\frac{{x\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}} + \frac{{x - 2}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}} =  - \frac{2}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}}\\\frac{{{x^2} - 3x}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}} + \frac{{x - 2}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}} =  - \frac{2}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}}\\{x^2} - 3x + x - 2 =  - 2\\{x^2} - 2x - 2 + 2 = 0\\{x^2} - 2x = 0\end{array}\)

\(x\left( {x - 2} \right) = 0\).

Để giải phương trình trên, ta giải hai phương trình:

*) \(x = 0\).                                               *)\(x - 2 = 0\)

                                                               \(x = 2\).

Ta thấy:

+ \(x = 0\) thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình;

+ \(x = 2\) không thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = 0\).

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a. \(\left( {9x - 4} \right)\left( {2x + 5} \right) = 0\)

Để giải phương trình đã cho, ta giải hai phương trình sau:

*) \(9x - 4 = 0\)

\(x = \frac{4}{9}\);

*) \(2x + 5 = 0\)

\(x =  - \frac{5}{2}\).

Vậy phương trình có nghiệm \(x = \frac{4}{9}\) và \(x =  - \frac{5}{2}\).

b. \(\left( {1,3x + 0,26} \right)\left( {0,2x - 4} \right) = 0\)

Để giải phương trình đã cho, ta giải hai phương trình sau:

*) \(1,3x + 0,26 = 0\)                           

\(x = 0,2\);                                             

*) \(0,2x - 4 = 0\)

\(x = 20\).

Vậy phương trình có nghiệm \(x = 0,2\) và \(x = 20\).

c. \(2x\left( {x + 3} \right) - 5\left( {x + 3} \right) = 0\)

\(\left( {2x - 5} \right)\left( {x + 3} \right) = 0\).

Để giải phương trình đã cho, ta giải hai phương trình sau:

*) \(2x - 5 = 0\)                                       

\(x = \frac{5}{2}\);                                                     

*) \(x + 3 = 0\)

\(x =  - 3\).

Vậy phương trình có nghiệm \(x = \frac{5}{2}\) và \(x =  - 3\).

d. \({x^2} - 4 + \left( {x + 2} \right)\left( {2x - 1} \right) = 0\)

\(\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) + \left( {x + 2} \right)\left( {2x - 1} \right) = 0\)

\(\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2 + 2x - 1} \right) = 0\)

\(\left( {x + 2} \right)\left( {3x - 3} \right) = 0\)

Để giải phương trình đã cho, ta giải hai phương trình sau:

*) \(x + 2 = 0\)                                             

\(x =  - 2\);                                                         

*) \(3x - 3 = 0\)

\(x = 1\).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x =  - 2\) và \(x = 1\).

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Gọi tốc độ của dòng nước là: \(x\) (km/h, 0 < x < 27)

Vận tốc cano khi xuôi dòng là:\(27 + x\) (km/h);

Vận tốc cano khi ngược dòng là: \(27 - x\) (km/h);

Thời gian cano khi xuôi dòng là: \(\frac{{40}}{{27 + x}}\) (giờ);

Thời gian cano khi ngược dòng là: \(\frac{{40}}{{27 - x}}\) (giờ).

Do thời gian cả đi và về là 3 giờ nên ta có phương trình:

\(\frac{{40}}{{27 + x}} + \frac{{40}}{{27 - x}} = 3\)

\(\frac{{40\left( {27 - x} \right)}}{{\left( {27 + x} \right)\left( {27 - x} \right)}} + \frac{{40\left( {27 + x} \right)}}{{\left( {27 + x} \right)\left( {27 - x} \right)}} = \frac{{3\left( {27 + x} \right)\left( {27 - x} \right)}}{{\left( {27 + x} \right)\left( {27 - x} \right)}}\)

\(1080 - 40x + 1080 + 40x = 3\left( {729 - {x^2}} \right)\)

\(2160 = 2187 - 3{x^2}\)

\(3{x^2} - 27 = 0\)

\(3{x^2} = 27\)

\({x^2} = 9\)

\(x = 3\) (Thỏa mãn điều kiện).

Vậy tốc độ của dòng nước là 3 (km/h).

 

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Gọi giá tiền của mỗi chiếc áo bạn Hoa đã mua là \(x\) (nghìn đồng, \(0 < x < 600\)).

Giá tiền của mỗi chiếc áo bạn Hoa dự định mua là: \(x - 30\) (nghìn đồng)

Số lượng áo bạn Hoa đã mua là: \(\frac{{600}}{x}\) (chiếc)

Số lượng áo bạn Hoa dự định mua là: \(\frac{{600}}{{x - 30}}\) (chiếc)

Do bạn Hoa đã mua được số lượng áo gấp 1,25 lần so với số lượng dự định nên ta có phương trình:

\(1,25.\frac{{600}}{x} = \frac{{600}}{{x - 30}}\)

\(\frac{{750\left( {x - 30} \right)}}{{x\left( {x - 30} \right)}} = \frac{{600x}}{{x\left( {x - 30} \right)}}\)

\(750x - 22500 = 600x\)

\(750x - 600x = 22500\)

\(150x = 22500\)

\(x = 150\)(Thoả mãn điều kiện).

Vậy giá tiền mỗi chiếc áo bạn Hoa đã mua là 150 nghìn đồng.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Nửa chu vi của mảnh đất là: \(52:2 = 26\left( m \right)\)

Gọi chiều dài của mảnh đất là \(x\left( {m,2 < x < 26} \right)\).

Chiều rộng của mảnh đất là: \(26 - x\,\left( m \right)\)

Chiều dài của vườn rau là: \(x - 2\,\,\left( m \right)\)

Chiều rộng của vườn rau là: \(26 - x - 2 = 24 - x\,\,\left( m \right)\)

Do diện tích của vườn rau là \(112{m^2}\) nên ta có phương trình:

\(\left( {x - 2} \right)\left( {24 - x} \right) = 112\)

\(24x - {x^2} - 48 + 2x - 112 = 0\)

\( - {x^2} + 26x - 160 = 0\)

\({x^2} - 26x + 160 = 0\)

\({\left( {x - 13} \right)^2} - 9 = 0\)

\(\left( {x - 13 - 3} \right)\left( {x - 13 + 3} \right) = 0\)

\(\left( {x - 16} \right)\left( {x - 10} \right) = 0\).

Để giải phương trình trên, ta giải hai phương trình sau:

*) \(x - 16 = 0\)                                         

\(x = 16\);                                                      

*) \(x - 10 = 0\)

\(x = 10\).

Vậy chiều dài của mảnh đất là \(16\left( m \right)\)

Chiều rộng của mảnh đất là \(10\left( m \right)\)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Với chi phí là 420 triệu đồng ta có: \(420 = \frac{{80}}{{100 - p}}\)

\(4200 - 420p = 80\)

\(420p = 4120\)

\(p \approx 9,8\).

Vậy với chi phí là 420 triệu đồng thì doanh nghiệp loại bỏ được 9,8% chất gây ô nhiễm trong khí thải.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Gọi số ngày đội công nhân hoàn thành công việc là: x (ngày, x > 0).

Thời gian làm việc của đội ở mỗi giai đoạn là: \(\frac{x}{2}\) (ngày).

Năng suất lao động của đội ở giai đoạn 1 là: \(3600:\frac{x}{2} = 7200x\) (\(m^2\)/ngày).

Giai đoạn 2 đội trải được: \(8100 - 3600 = 4500\left( {{m^2}} \right)\)

Năng suất lao động của đội ở giai đoạn 2 là: \(4500:\frac{x}{2} = 9000x\) (\(m^2\)/ngày).

Do giai đoạn hai, đội công nhân tăng năng suất thêm \(300\) (\(m^2\)/ngày). Ta có phương trình:

\(9000x - 7200x = 300\).

Giải phương trình: \(9000x - 7200x = 300\)

                       \(1800x = 300\)

                       \(x = \frac{1}{6}\) (thỏa mãn điều kiện x > 0).

Vậy đội công nhân hoàn thành công việc trong \(\frac{1}{6}\) ngày.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)