Question

Viết phương trình mặt cầu (S):

a) Có tâm I(3; −2; −4), bán kính R = 10;

b) Có đường kính EF với E(3; −1; 8) và F(7; −3; 0);

c) Có tâm M(−2; 1; 3) và đi qua điểm N(2; −3; −4).

Answer 1

a) Mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(I\left( {3; - 2; - 4} \right)\), bán kính \(R = 10\) có phương trình là

\({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 4} \right)^2} = 100\).

b) Mặt cầu \(\left( S \right)\) có đường kính \(EF\), suy ra \(\left( S \right)\) có tâm \(I\) là trung điểm của \(EF\) và bán kính bằng \(\frac{{EF}}{2}\).

Ta có \(E\left( {3; - 1;8} \right)\) và \(F\left( {7; - 3;0} \right)\), suy ra \(I\left( {5; - 2;4} \right)\).

Ta có \(EF = \sqrt {{{\left( {3 - 7} \right)}^2} + {{\left( { - 1 + 3} \right)}^2} + {{\left( {8 - 0} \right)}^2}}  = 2\sqrt {21} \), suy ra \(R = \frac{{EF}}{2} = \sqrt {21} \).

Vậy phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) là \({\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = 21\).

c) Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(M\) và đi qua \(N\), nên \(MN\) là một bán kính của \(\left( S \right)\).

Ta có \(MN = \sqrt {{{\left( { - 2 - 2} \right)}^2} + {{\left( {1 + 3} \right)}^2} + {{\left( {3 + 4} \right)}^2}}  = 9\).

Vậy phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) là \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 81\).