Câu hỏi của Nguyễn Quốc Đạt

Question

Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho hình lập phương OBCD.O'B'C'D' có O(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; a; 0), O'(0; 0; a) với a > 0.a) Chứng minh rằng đường chéo O'C vuông góc với mặt phẳng (OB'D...

Nguyễn Quốc Đạt · Accepted Answer

Gọi $C\left( {{x_C};{y_C};{z_C}} \right)$. Ta có: $\overrightarrow {OB}  = \left( {a;0;0} \right),\overrightarrow {DC}  = \left( {{x_C};{y_C} - a;{z_C}} \right)$.Vì OBCD.O'B'C'D là hình lập phương nên OBCD là hình vuông.Do đó: $\overrightarrow {DC}  = \overrightarrow {OB}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = a\{y_C} - a = 0\{z_C} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = a\{y_C} = a\{z_C} = 0\end{array} \right.$. Suy ra, C(a; a; 0).Gọi $D'\left( {{x_{D'}};{y_{D'}};{z_{D'}}} \right)$. Ta có: $\overrightarrow {OO'}  = \left( {0;0;a} \right),\overrightarrow {DD'}  = \left( {{x_{D'}};{y_{D'}} - a;{z_{D'}}} \right)$.Vì OBCD.O'B'C'D là hình lập phương nên ODD’O’ là hình vuông.Do đó: $\overrightarrow {DD'}  = \overrightarrow {OO'}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{D'}} = 0\{y_{D'}} - a = 0\{z_{D'}} = a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{D'}} = 0\{y_{D'}} = a\{z_{D'}} = a\end{array} \right.$. Suy ra, D’(0; a; a).Gọi $B'\left( {{x_{B'}};{y_{B'}};{z_{B'}}} \right)$. Ta có: $\overrightarrow {OO'}  = \left( {0;0;a} \right),\overrightarrow {BB'}  = \left( {{x_{B'}} - a;{y_{B'}};{z_{B'}}} \right)$.Vì OBCD.O'B'C'D là hình lập phương nên OBB’O’ là hình vuông.Do đó: $\overrightarrow {BB'}  = \overrightarrow {OO'}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{B'}} - a = 0\{y_{B'}} = 0\{z_{B'}} = a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{B'}} = a\{y_{B'}} = 0\{z_{B'}} = a\end{array} \right.$. Suy ra, B’(a; 0; a).a) Ta có: $\overrightarrow {OB'}  = \left( {a;0;a} \right),\overrightarrow {OD'}  = \left( {0;a;a} \right)$$\left[ {\overrightarrow {OB'} ,\overrightarrow {OD'} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&a\a&a\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}a&a\a&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}a&0\0&a\end{array}} \right|} \right) = \left( { - {a^2}; - {a^2};{a^2}} \right)$Mặt phẳng (OB’D’) nhận $\left[ {\overrightarrow {OB'} ,\overrightarrow {OD'} } \right] = \left( { - {a^2}; - {a^2};{a^2}} \right)$ làm một vectơ pháp tuyến.Lại có: $\overrightarrow {O'C}  = \left( {a;a; - a} \right),\left[ {\overrightarrow {OB'} ,\overrightarrow {OD'} } \right] =  - a.\overrightarrow {O'C} $ nên hai vectơ $\overrightarrow {O'C} ,\left[ {\overrightarrow {OB'} ,\overrightarrow {OD'} } \right]$ cùng phương. Do đó, $\overrightarrow {O'C} $ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (OB’D’). Vậy O'C vuông góc với mặt phẳng (OB'D').b) Mặt phẳng (OB’D’) nhận $\left[ {\overrightarrow {OB'} ,\overrightarrow {OD'} } \right] = \left( { - {a^2}; - {a^2};{a^2}} \right)$ làm một vectơ pháp tuyến và đi qua điểm O(0; 0; 0) nên phương trình mặt phẳng (OB’D’) là:$ - {a^2}\left( {x - 0} \right) - {a^2}\left( {y - 0} \right) + {a^2}\left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y - z = 0$ (Do $a > 0$)Đường thẳng O’C đi qua điểm O'(0; 0; a) và nhận $\frac{1}{a}\overrightarrow {O'C}  = \left( {1;1; - 1} \right)$ làm một vectơ chỉ phương nên phương trình tham số đường thẳng O’C là: $\left\{ \begin{array}{l}x = t\y = t\z = a - t\end{array} \right.$ (t là tham số).Gọi G là giao điểm của đường thẳng O’C và mặt phẳng (OB’D’).Vì G thuôc O’C nên G(t; t; a-t). Vì G thuộc mặt phẳng (OB’D’) nên:$t + t - \left( {a - t} \right) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{a}{3}$. Do đó, $G\left( {\frac{a}{3};\frac{a}{3};\frac{{2a}}{3}} \right)$.Gọi G’ là trọng tâm của tam giác OB’D’ nên $G'\left( {\frac{a}{3};\frac{a}{3};\frac{{2a}}{3}} \right)$.Khi đó, G trùng với G’. Vậy giao điểm của đường chéo O'C và mặt phẳng (OB'D') là trọng tâm của tam giác OB'D'.c) Gọi $C'\left( {{x_{C'}};{y_{C'}};{z_{C'}}} \right)$. Ta có: $\overrightarrow {OO'}  = \left( {0;0;a} \right),\overrightarrow {CC'}  = \left( {{x_{C'}} - a;{y_{C'}} - a;{z_{C'}}} \right)$.Vì OBCD.O'B'C'D là hình lập phương nên $\overrightarrow {CC'}  = \overrightarrow {OO'}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{C'}} - a = 0\{y_{C'}} - a = 0\{z_{C'}} = a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{C'}} = a\{y_{C'}} = a\{z_{C'}} = a\end{array} \right.$.Suy ra, C’(a; a; a).Ta có: $\overrightarrow {C'B}  = \left( {0; - a; - a} \right),\overrightarrow {C'D}  = \left( { - a;0 - a} \right)$, $\left[ {\overrightarrow {C'B} ,\overrightarrow {C'D} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - a}&{ - a}\0&{ - a}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - a}&0\{ - a}&{ - a}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - a}\{ - a}&0\end{array}} \right|} \right) = \left( {{a^2};{a^2}; - {a^2}} \right)$Mặt phẳng (C'BD) nhận $\left[ {\overrightarrow {C'B} ,\overrightarrow {C'D} } \right] = \left( {{a^2};{a^2}; - {a^2}} \right)$ làm một vectơ pháp tuyến và đi qua điểm D(0; a; 0) nên có phương trình: ${a^2}.x + {a^2}\left( {y - a} \right) - {a^2}z = 0 \Leftrightarrow x + y - z - a = 0$Ta có: $d\left( {B',\left( {C'BD} \right)} \right) = \frac{{\left| {a + 0 - a - a} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{a}{{\sqrt 3 }}$.d) Ta có: $\overrightarrow {O'C}  = \left( {a;a; - a} \right),\overrightarrow {O'D}  = \left( {0;a; - a} \right)$, $\left[ {\overrightarrow {O'C} ,\overrightarrow {O'D} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}a&{ - a}\a&{ - a}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - a}&a\{ - a}&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}a&a\0&a\end{array}} \right|} \right) = \left( {0;{a^2};{a^2}} \right)$Mặt phẳng (CO’D) nhận $\frac{1}{{{a^2}}}\left[ {\overrightarrow {O'C} ,\overrightarrow {O'D} } \right] = \left( {0;1;1} \right)$ làm một vectơ pháp tuyến, mặt phẳng (C'BD) nhận $\frac{1}{{{a^2}}}\left[ {\overrightarrow {C'B} ,\overrightarrow {C'D} } \right] = \left( {1;1; - 1} \right)$ làm một vectơ pháp tuyến.Ta có: $\cos \left( {\left( {CO'D} \right),\left( {C'BD} \right)} \right) = \frac{{\left| {1.0 + 1.1 - 1.1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{0^2} + {1^2} + {1^2}} }} = 0$.Câu trả lời: Gọi $C\left( {{x_C};{y_C};{z_C}} \right)$. Ta có: $\overrightarrow {OB}  = \left( {a;0;0} \right),\overrightarrow {DC}  = \left( {{x_C};{y_C} - a;{z_C}} \right)$.Vì OBCD.O'B'C'D là hình lập phương nên OBCD là hình vuông.Do đó: $\overrightarrow {DC}  = \overrightarrow {OB}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = a\{y_C} - a = 0\{z_C} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = a\{y_C} = a\{z_C} = 0\end{array} \right.$. Suy ra, C(a; a; 0).Gọi $D'\left( {{x_{D'}};{y_{D'}};{z_{D'}}} \right)$. Ta có: $\overrightarrow {OO'}  = \left( {0;0;a} \right),\overrightarrow {DD'}  = \left( {{x_{D'}};{y_{D'}} - a;{z_{D'}}} \right)$.Vì OBCD.O'B'C'D là hình lập phương nên ODD’O’ là hình vuông.Do đó: $\overrightarrow {DD'}  = \overrightarrow {OO'}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{D'}} = 0\{y_{D'}} - a = 0\{z_{D'}} = a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{D'}} = 0\{y_{D'}} = a\{z_{D'}} = a\end{array} \right.$. Suy ra, D’(0; a; a).Gọi $B'\left( {{x_{B'}};{y_{B'}};{z_{B'}}} \right)$. Ta có: $\overrightarrow {OO'}  = \left( {0;0;a} \right),\overrightarrow {BB'}  = \left( {{x_{B'}} - a;{y_{B'}};{z_{B'}}} \right)$.Vì OBCD.O'B'C'D là hình lập phương nên OBB’O’ là hình vuông.Do đó: $\overrightarrow {BB'}  = \overrightarrow {OO'}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{B'}} - a = 0\{y_{B'}} = 0\{z_{B'}} = a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{B'}} = a\{y_{B'}} = 0\{z_{B'}} = a\end{array} \right.$. Suy ra, B’(a; 0; a).a) Ta có: $\overrightarrow {OB'}  = \left( {a;0;a} \right),\overrightarrow {OD'}  = \left( {0;a;a} \right)$$\left[ {\overrightarrow {OB'} ,\overrightarrow {OD'} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&a\a&a\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}a&a\a&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}a&0\0&a\end{array}} \right|} \right) = \left( { - {a^2}; - {a^2};{a^2}} \right)$Mặt phẳng (OB’D’) nhận $\left[ {\overrightarrow {OB'} ,\overrightarrow {OD'} } \right] = \left( { - {a^2}; - {a^2};{a^2}} \right)$ làm một vectơ pháp tuyến.Lại có: $\overrightarrow {O'C}  = \left( {a;a; - a} \right),\left[ {\overrightarrow {OB'} ,\overrightarrow {OD'} } \right] =  - a.\overrightarrow {O'C} $ nên hai vectơ $\overrightarrow {O'C} ,\left[ {\overrightarrow {OB'} ,\overrightarrow {OD'} } \right]$ cùng phương. Do đó, $\overrightarrow {O'C} $ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (OB’D’). Vậy O'C vuông góc với mặt phẳng (OB'D').b) Mặt phẳng (OB’D’) nhận $\left[ {\overrightarrow {OB'} ,\overrightarrow {OD'} } \right] = \left( { - {a^2}; - {a^2};{a^2}} \right)$ làm một vectơ pháp tuyến và đi qua điểm O(0; 0; 0) nên phương trình mặt phẳng (OB’D’) là:$ - {a^2}\left( {x - 0} \right) - {a^2}\left( {y - 0} \right) + {a^2}\left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y - z = 0$ (Do $a > 0$)Đường thẳng O’C đi qua điểm O'(0; 0; a) và nhận $\frac{1}{a}\overrightarrow {O'C}  = \left( {1;1; - 1} \right)$ làm một vectơ chỉ phương nên phương trình tham số đường thẳng O’C là: $\left\{ \begin{array}{l}x = t\y = t\z = a - t\end{array} \right.$ (t là tham số).Gọi G là giao điểm của đường thẳng O’C và mặt phẳng (OB’D’).Vì G thuôc O’C nên G(t; t; a-t). Vì G thuộc mặt phẳng (OB’D’) nên:$t + t - \left( {a - t} \right) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{a}{3}$. Do đó, $G\left( {\frac{a}{3};\frac{a}{3};\frac{{2a}}{3}} \right)$.Gọi G’ là trọng tâm của tam giác OB’D’ nên $G'\left( {\frac{a}{3};\frac{a}{3};\frac{{2a}}{3}} \right)$.Khi đó, G trùng với G’. Vậy giao điểm của đường chéo O'C và mặt phẳng (OB'D') là trọng tâm của tam giác OB'D'.c) Gọi $C'\left( {{x_{C'}};{y_{C'}};{z_{C'}}} \right)$. Ta có: $\overrightarrow {OO'}  = \left( {0;0;a} \right),\overrightarrow {CC'}  = \left( {{x_{C'}} - a;{y_{C'}} - a;{z_{C'}}} \right)$.Vì OBCD.O'B'C'D là hình lập phương nên $\overrightarrow {CC'}  = \overrightarrow {OO'}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{C'}} - a = 0\{y_{C'}} - a = 0\{z_{C'}} = a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{C'}} = a\{y_{C'}} = a\{z_{C'}} = a\end{array} \right.$.Suy ra, C’(a; a; a).Ta có: $\overrightarrow {C'B}  = \left( {0; - a; - a} \right),\overrightarrow {C'D}  = \left( { - a;0 - a} \right)$, $\left[ {\overrightarrow {C'B} ,\overrightarrow {C'D} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - a}&{ - a}\0&{ - a}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - a}&0\{ - a}&{ - a}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - a}\{ - a}&0\end{array}} \right|} \right) = \left( {{a^2};{a^2}; - {a^2}} \right)$Mặt phẳng (C'BD) nhận $\left[ {\overrightarrow {C'B} ,\overrightarrow {C'D} } \right] = \left( {{a^2};{a^2}; - {a^2}} \right)$ làm một vectơ pháp tuyến và đi qua điểm D(0; a; 0) nên có phương trình: ${a^2}.x + {a^2}\left( {y - a} \right) - {a^2}z = 0 \Leftrightarrow x + y - z - a = 0$Ta có: $d\left( {B',\left( {C'BD} \right)} \right) = \frac{{\left| {a + 0 - a - a} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{a}{{\sqrt 3 }}$.d) Ta có: $\overrightarrow {O'C}  = \left( {a;a; - a} \right),\overrightarrow {O'D}  = \left( {0;a; - a} \right)$, $\left[ {\overrightarrow {O'C} ,\overrightarrow {O'D} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}a&{ - a}\a&{ - a}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - a}&a\{ - a}&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}a&a\0&a\end{array}} \right|} \right) = \left( {0;{a^2};{a^2}} \right)$Mặt phẳng (CO’D) nhận $\frac{1}{{{a^2}}}\left[ {\overrightarrow {O'C} ,\overrightarrow {O'D} } \right] = \left( {0;1;1} \right)$ làm một vectơ pháp tuyến, mặt phẳng (C'BD) nhận $\frac{1}{{{a^2}}}\left[ {\overrightarrow {C'B} ,\overrightarrow {C'D} } \right] = \left( {1;1; - 1} \right)$ làm một vectơ pháp tuyến.Ta có: $\cos \left( {\left( {CO'D} \right),\left( {C'BD} \right)} \right) = \frac{{\left| {1.0 + 1.1 - 1.1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{0^2} + {1^2} + {1^2}} }} = 0$.

Bài tập cuối chương V

Khoá học trên OLM (olm.vn)

Đề thi đánh giá năng lực