Question

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mp (P):2x-y+2z+9=0 và hai điểm A(3;-1;2), B(1;-5;0). Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho \(\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}\) nhỏ nhất?

Answer 1

Lời giải:

Gọi \(I(a,b,c)\) là một điểm thỏa mãn \(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=0\)

\(\Rightarrow (3-a,-1-b,2-c)+(1-a,-5-b,-c)=0\Rightarrow I(2,-3,1)\)

Lại có:

\(P=\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA})(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB})=MI^2+\overrightarrow{IB}.\overrightarrow{IA}\)

\(\Leftrightarrow P=MI^2-6\)

Để \(P_{\min}\Leftrightarrow MI_{\min}\), điều đó đồng nghĩa với việc \(M\) là hình chiếu của $I$ lên mặt phẳng $(P)$

Gọi \(M(a,b,c)\Rightarrow \overrightarrow{IM}=(a-2,b+3,c-1)=k(2,-1,2)\)

\(\Rightarrow \frac{a-2}{2}=\frac{b+3}{-1}=\frac{c-1}{2}\)

Mặt khác, \(2a-b+2c+9=0\) nên \(a=-2,b=-1,c=-3\)

Vậy \(M(-2,-1,-3)\)