Question

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \(\Delta_1:\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+2}{1}=\dfrac{z-3}{4}\) và \(\Delta_2:\dfrac{x+1}{1}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z}{4}\).Chứng minh rằng:

a) Hai đường thẳng Δ₁ và Δ₂ song song với nhau;

b) Đường thẳng Δ₁ và trục Ox chéo nhau;

c) Đường thẳng Δ₂ trùng với đường thẳng \(\Delta_3:\dfrac{x+2}{1}=\dfrac{y+2}{1}=\dfrac{z+4}{4}\);

d) Đường thẳng Δ₂ cắt trục Oz.

Answer 1

Đường thẳng \({\Delta _1}\) đi qua điểm \({A_1}\left( {1; - 2;3} \right)\) và có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {1;1;4} \right)\).

Đường thẳng \({\Delta _2}\) đi qua điểm \({A_2}\left( { - 1; - 1;0} \right)\) và có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {1;1;4} \right)\).

a) Vì \(\overrightarrow {{u_1}}  = \overrightarrow {{u_2}} \) nên \(\overrightarrow {{u_1}} \) cùng phương với \(\overrightarrow {{u_2}} \).

Lại có: \(\frac{{1 + 1}}{1} \ne \frac{{ - 2 + 1}}{1}\) nên điểm \({A_1}\left( {1; - 2;3} \right)\) không thuộc đường thẳng \({\Delta _2}\).

Do đó, hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) song song với nhau.

b) Trục Ox có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow i  = \left( {1;0;0} \right)\) và đi qua điểm O(0;0;0).

Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow i } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&4\\0&0\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}4&1\\0&1\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&1\\1&0\end{array}} \right|} \right) = \left( {0;4; - 1} \right)\), \(\overrightarrow {{A_1}O} \left( { - 1;2; - 3} \right)\)

Vì \(\overrightarrow {{A_1}O} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow i } \right] =  - 1.0 + 2.4 - 3.\left( { - 1} \right) = 11 \ne 0\) nên \({\Delta _1}\) và Ox chéo nhau.

c) Đường thẳng \({\Delta _3}\) có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_3}}  = \left( {1;1;4} \right)\).

Vì \(\overrightarrow {{u_3}}  = \overrightarrow {{u_2}} \) nên \(\overrightarrow {{u_3}} \) cùng phương với \(\overrightarrow {{u_2}} \).

Lại có: \(\frac{{ - 1 + 2}}{1} = \frac{{ - 1 + 2}}{1} = \frac{{0 + 4}}{4}\) nên điểm \({A_2}\left( { - 1; - 1;0} \right)\) thuộc đường thẳng \({\Delta _3}\).

Do đó, đường thẳng \({\Delta _2}\) trùng với đường thẳng \({\Delta _3}\).

d) Trục Oz có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow k  = \left( {0;0;1} \right)\) và đi qua điểm O(0;0;0)

Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {{u_2}} ,\overrightarrow k } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&4\\0&1\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}4&1\\1&0\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&1\\0&0\end{array}} \right|} \right) = \left( {1; - 1;0} \right)\), \(\overrightarrow {{A_2}O} \left( {1;1;0} \right)\)

Vì \(\overrightarrow {{A_2}O} .\left[ {\overrightarrow {{u_2}} ,\overrightarrow k } \right] = 1.1 - 1.1 - 0.0 = 0\) và \(\left[ {\overrightarrow {{u_2}} ,\overrightarrow k } \right] = \left( {1; - 1;0} \right) \ne \overrightarrow 0 \) nên \({\Delta _2}\) cắt trục Oz.