Ta có:\(\dfrac{2n+7}{n-1}\)\(=\dfrac{2n-2+9}{n-1}\)
\(=\dfrac{2\left(n-1\right)}{n-1}\)\(+\dfrac{9}{n-1}\)=\(2+\dfrac{9}{n-1}\) Để n STN \(\Rightarrow\)\(\dfrac{9}{n-1}\) là STN \(\Rightarrow\)n-1 \(\in\) Ư(9)=(1;3;9) \(\Rightarrow\) n= 2 ; 4 ; 10
Để \(\dfrac{2n+7}{n-1}\)có giá trị là số nguyên thì :
2n+7 chia hết cho n-1
2n-2+9 chia hết cho n-1
2(n-1)+9 chia hết cho n-1
Vì 2(n-1) chia hết cho n-1 nên 9 chia hết cho n-1
=> n-1 thuộc Ư(9)
Ư(9)=(1;-1;3;-3;9;-9)
=> n-1 thuộc (1;-1;3;-3;9;-9)
=> n thuộc (2;0;4;-2;10;-8)
Ta có bảng sau:
| n | 2 | 0 | 4 | -2 | 10 | -8 |
| 2n+7 | 11 | 7 | 15 | 3 | 27 | -9 |
| n-1 | 1 | -1 | 3 | -3 | 9 | -9 |
| \(\dfrac{2n+7}{n-1}\) | 11 | -7 | 5 | -1 | 3 | 1 |
Vậy n bằng 2;4;10 và -8 để \(\dfrac{2n+7}{n-1}\)
là số tự nhiên.
