a) Hai số u và v là nghiệm của phương trình \({x^2} - 15x + 56 = 0\)
Ta có: \(\Delta = {\left( { - 15} \right)^2} - 4.56 = 1 > 0\)
Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt: \({x_1} = \frac{{15 + 1}}{2} = 8;{x_2} = \frac{{15 - 1}}{2} = 7\).
Vậy \(u = 8;v = 7\) hoặc \(u = 7;v = 8\).
b) Ta có: \({u^2} + {v^2} = 125 \Rightarrow {\left( {u + v} \right)^2} - 2uv = 125 \Rightarrow {\left( {u + v} \right)^2} = 125 + 2.22 = 169\)
Do đó, \(u + v = 13\) hoặc \(u + v = - 13\).
Trường hợp 1: \(u + v = 13\):
Hai số u và v là nghiệm của phương trình \({x^2} - 13x + 22 = 0\)
Ta có: \(\Delta = {\left( { - 13} \right)^2} - 4.22 = 81 > 0\).
Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_1 = \frac{13 +\sqrt{81}}{2} = 11\) và \(x_2 = \frac{13 - \sqrt{81}}{2} = 2\)
Trường hợp 2: \(u + v = - 13\):
Hai số u và v là nghiệm của phương trình \({x^2} + 13x + 22 = 0\)
Ta có: \(\Delta = {13^2} - 4.22 = 81 > 0\).
Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_1 = \frac{-13 +\sqrt{81}}{2} = -2\) và \(x_2 = \frac{-13 - \sqrt{81}}{2} = -11\)
Vậy \((u,v) \in \left\{ (-2; -11); (-11;-2); (2; 11); (11;2) \right\} \) thỏa mãn \({u^2} + {v^2} = 125,uv = 22\).