Bài 4: Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
datcoder

Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) y = – 2x3 – 3x2 + 1;                       b) y = x3 + 3x2 + 3x + 2.

datcoder
28 tháng 10 lúc 22:58

a) \(y =  - 2{x^3} - 3{x^2} + 1\)

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\)

- Chiều biến thiên:

\(y' =  - 6{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = 0\end{array} \right.\)

Trên các khoảng (\( - \infty \); -1), (0; \( + \infty \)) thì y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó. Trên khoảng (-1; 0) thì y' > 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng đó.

- Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và \({y_{cd}} = 1\)

Hàm số đạt cực tiểu tại x = -1 và \({y_{ct}} = 0\)

- Các giới hạn tại vô cực:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } ( - 2{x^3} - 3{x^2} + 1) =  + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } ( - 2{x^3} - 3{x^2} + 1) =  - \infty \)

- Bảng biến thiên:

Khi x = 0 thì y = 1 nên (0; 1) là giao điểm của đồ thị với trục Oy

Ta có: \(y = 0 \Leftrightarrow  - 2{x^3} - 3{x^2} + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = \frac{1}{2}\end{array} \right.\)

Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại hai điểm (-1; 0) và (\(\frac{1}{2}\); 0)

b) \(y = {x^3} + 3{x^2} + 3x + 1\)

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\)

- Chiều biến thiên:

\(y' = 3{x^2} + 6x + 3 = 0 \Leftrightarrow x =  - 1\)

\(y' \ge 0\forall x \in \mathbb{R}\)nên hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\)

- Cực trị:

Hàm số không có cực trị

- Các giới hạn tại vô cực:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } ({x^3} + 3{x^2} + 3x + 1) =  - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } ({x^3} + 3{x^2} + 3x + 1) =  + \infty \)

- Bảng biến thiên:

 

Khi x = 0 thì y = 1 nên (0; 1) là giao điểm của đồ thị với trục Oy

Ta có: \(y = 0 \Leftrightarrow {x^3} + 3{x^2} + 3x + 1 = 0 \Leftrightarrow x =  - 1\)

Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm (-1; 0)