\(\Delta MAH\) vuông tại M (OM = OA = OH = R)
\(\Rightarrow\widehat{AMH}=90^0\)
\(\Delta NAH\) vuông tại N (ON = OA = OH = R)
\(\Rightarrow\widehat{ANH}=90^0\)
mà \(\widehat{MAN}=90^0\)
=> AMHN là h.c.n.
mà O là t.đ. của AH
=> O là t.đ. của MN
=> M, O, N thẳng hàng.
- - -
\(\widehat{HBA}+\widehat{ACB}=90^0\)
\(\widehat{HAC}+\widehat{ACB}=90^0\)
\(\Rightarrow\widehat{HBA}=\widehat{HAC}\)
mà \(\widehat{HAC}=\widehat{MNA}\) (AMNH là h.c.n.)
\(\Rightarrow\widehat{HBA}=\widehat{MNA}\)
\(\Rightarrow\widehat{HBA}+\widehat{MNC}=\widehat{MNA}+\widehat{MNC}=180^0\)
=> BMNC nội tiếp
- - -
Gọi g.đ. của AI và MN là K.
\(\Delta ABC\) có AI là đ.t.tn.
=> IA = IC
=> \(\Delta IAC\) cân tại I
\(\Rightarrow\widehat{ICA}=\widehat{IAC}\)
mà \(\widehat{HAC}=\widehat{MNA}\)
\(\Rightarrow\widehat{IAC}+\widehat{MNA}=\widehat{ICA}+\widehat{HAC}=90^0\)
\(\Rightarrow\widehat{AKN}=90^0\)
\(\Rightarrow AI\perp MN\)
- - -
\(BA.BM+CA.CN\)
\(=HB^2+HC^2\)
\(\ge2HB.HC=2AH^2\)
Dấu "=" xảy ra khi HB = HC \(\Leftrightarrow H\equiv I\)
<=> \(\Delta ABC\) vuông cân
Hình tự vẽ nhé ~^^~
