Question

Có tồn tại hay không số nguyên dương k thỏa mãn

\(2^k+3^k\) là số chính phương

Answer 1

Không

Answer 2

Bổ đề 1: Số chính phương không thể có tận cùng là 2; 3; 7; 8. Bổ đề 2: Số chính phương chia cho 3 không thể có số dư là 2. (Tự chứng minh 2 bổ đề trên)

Giả sử tồn tại sao cho là số chính phương.

Đặt k=4t+r với \(a\in N,b\in0,1,2,3\) (0,1,2,3 chỉ là các số đại diện trên tính chẵn lẻ và 0) thì số đang xét có dạng:

\(A=2^k+3^k=2^{4a+b}+3^{4a+b}=16^a.2^b+81^a.3^b\)

Xét 4 trường hợp sau:

TH1:Với b=0 thì A có tận cùng là 7, trái với bổ đề 1. TH2:Với b=2 thì A có tận cùng là 3, trái với bổ đề 1. TH3: Với b=1 thì A chia cho 3 dư 2, trái với bổ đề 2. TH4: Với b=3 thì A chia cho 3 dư 2, trái với bổ đề 2.

Vậy không tồn tại số nguyên dương k nào để số A là số chính phương