a) Vì góc $A B D$, góc $A C D$ đều là các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn $(O)$ (do $A D$ là đường kính của $(O)$ nên $\widehat{A B D}=\widehat{A C D}=90^{\circ}$.
Do đó $D B \perp A B$ và $C D \perp A C$.
b) Vì $H$ là trực tâm của $\triangle A B C$ nên $B H \perp A C$ và $C H \perp A B$.
Lại có $C D \perp A C$ và $D B \perp A B$ (câu a) nên $B H / / C D$ và $C H / / B D$.
Xét tứ giác $B H C D$ có $B H / / C D$ và $C H / / B D$ nên $B H C D$ là hình bình hành.
c) Vì BHCD là hình bình hành nên $\mathrm{BH}=\mathrm{CD}$.
Xét $\triangle A C D$ vuông tại $C$, theo định lí Pythagore, ta có:
$$
A D^2=A C^2+C D^2
$$
Suy ra $(2 R)^2=A C^2+B H^2$
Hay $A C^2+B H^2=4 R^2$.
d) Vì BHCD là hình bình hành nên hai đường chéo BC và HD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Mà $M$ là trung điểm của $B C$ nên $M$ cũng là trung điểm của $H D$, do đó ba điểm $H, M, D$ thẳng hàng.
Lại có $A D$ là đường kính của đường tròn $(O)$ nên $O$ là trung điểm của $A D$.
Xét $\triangle A H D$ có $O, M$ lần lượt là trung điểm của $A B, H D$ nên $O M$ là đường trung bình của tam giác,
Do đó $O M=\frac{1}{2} A H$ hay $\mathrm{AH}=2 \mathrm{OM}$.